Smarandache函数在数列ap－bp上的一个下界估计

高 丽，郝虹斐，2，鲁伟阳

（1.延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000；

2.榆林市清涧县店则沟镇九年制学校，陕西榆林719000）

Smarandache函数在数列ap－bp上的一个下界估计

高 丽1，郝虹斐1，2，鲁伟阳1

（1.延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000；

2.榆林市清涧县店则沟镇九年制学校，陕西榆林719000）

研究Smarandache函数在数列ap－bp上的下界估计问题。利用初等方法和组合方法，证明了估计式S（ap－bp）≥10 p＋1，其中p≥17为任意素数，a与b为任意不同的正整数，且a＞b。结论给出了Smarandache函数在数列ap－bp上的一个较强的下界估计。

Smarandache函数；下界估计；初等方法；组合方法

对于任意的正整数n，F.Smarandache给出Smarandache函数S（n）被定义为最小的正整数m，使得n｜m！，即S（n）＝min｛m：m∈N＋，n｜m！｝。其中N＋表示所有的正整数集合。假设n的标准分解式为：n，依据S（n）的定义易得：S（n）＝，由此容易通过计算可以得到：S（1）＝1，S（2）＝2，S（3）＝3，S（4）＝4，S（5）＝5，S（6）＝3，S（7）＝7，S（8）＝4，…。而关于函数S（n）的初等性质，近几年有许多学者进行了研究，并获得了不少有趣的结论［1－4］。例如陆亚明［1］研究了关于Smarandache函数S（n）的方程，并证明了

的可解性问题，并利用解析数论中的三素数定理证明了对于任意正整数k≥3，该方程有无数组正整数解（m1，m2，m3，…，mk）。

此外，一些学者对Smarandache函数S（n）在某特殊数列上的下界估计做出研究。其中，苏娟丽［2］研究了S（2p＋1）的下界估计问题，证明了：当p≥17且为素数时，有估计式

温田丁在文献［3］中更精确了文献［2］的结果，证明了：当p≥17为素数时，有估计式

文献［4］中石鹏等人则讨论了S（n）在特殊数列ap＋bp上的下界估计问题，证明了：当a与b为任意不同的正整数，p≥17为素数时，有估计式

受到文献［2－4］的启示，本文利用初等方法及组合方法，研究Smarandache函数S（n）在特殊数列ap－bp上的下界估计问题，并获得了一个较强的估计式。从而得到结果为：

定理设p≥17为素数，a与b为任意不同的正整数，且a＞b，有估计式

1 相关引理

引理1 设p为奇素数，对于任意互素的正整数a及b，且a＞b，有

由于（a，b）＝1，d｜a－b，所以（a，b）＝1，进而由（1）式立刻推出d｜p，进而推出d＝1，p。

引理2［5］对任意素数p，正整数及α，t及n，有

则S（pα）≥S（pt）≥pt。

2 定理的证明

本节利用初等方法和组合方法给出定理证明。

由引理2中Smarandache函数S（n）的性质知：对任意素数p，若p｜n，有S（n）≥S（p），而且p｜S（pα）对任意满足α≤p的正整数α成立。所以对任意素数p≥17，令q为ap－bp的任意素因子，显然q≥3，于是可得S（ap－bp）≥q，又因为q｜ap－bp，因而ap－bp≡0（mod q），或者

因此p是（a，b）p模q的指标，则由上式及指标的性质［6－7］知

由于q为奇素数，那么m一定是偶数，因而可以设

于是由式（2）知ap－bp有以下5种可能：

1.ap－bp为p的方幂。假设ap－bp＝pα，当α＝2时，有ap－bp≥2p－1≥p2，所以α≥3。由引理1不难推出a－b＝pk·μ，其中k∈N＋，（p，μ）＝1。因为a－b｜ap－bp，从而μ＝1。当时，有k＝0，或k＝α，即a－b＝1或a－b＝pα，此时有

2.除p以外，ap－bp至少含有4个素因子。由（3）式知，至少存在一个素因子q，使得q＝2kp＋1，k≥4，因为当素数p≥5时，2p＋1和4p＋1不可能同时为素数，此时

3.除p以外，ap－bp仅含有3个素因子q1，q2，q3。由（3）式可设q1＝2k1p＋1，q2＝2k2p＋1，及q3＝2k3p＋1，而当p≥17时，2p＋1和4p＋1不可能同时为素数，则至少存在一个素因子，不妨设为q3，此时q3＝2k3p＋1≥8p＋1，k3≥4，则一定有S（ap－bp）≥q3＝2k3p＋1≥8p＋1。

4.ap－bp除p以外，仅含有2个素因子。由（3）式知，ap－bp不可能同时包含素因子2p＋1和4p＋1，因而由（3）式及S（n）的性质，可以分为以下形式：

若ap－bp＝pα（2p＋1）β（6p＋1）γ成立，当β≥4或γ≥2时，由引理2知

或者

当1≤β≤3或γ＝1，现在证明在这种情况下，当p≥17时，ap－bp不可能含有p的方幂，若不然，当α≥2时，由Euler－Fermat定理知：

令a－b＝pk·μ，（p，μ）＝1，由引理1可得k＝α或者k＝α－1，显然ap－bp＝pα（2p＋1）β（6p＋1）且1≤β≤3，k＝α不可能。因为此时

矛盾。于是可设k＝α－1，同样的的方法可以推出矛盾。

当α＝1时，由于a－b≡ap－bp≡0（mod p），可以得到k＝α＝1，此时有p2整除ap－bp显然这是不成立的。因而ap－bp不含素因子p。这样可得到

其中1≤β≤3，且p≥17为素数，通过计算得出上式不成立。

同理可证当ap－bp＝pα（2p＋1）β（6p＋1）γ与ap－bp＝pα（4p＋1）β（6p＋1）γ，素数p≥17时，结论S（ap－bp）≥8p＋1成立。

5.ap－bp除p以外，仅含有1个素因子。因而由（3）式及S（n）的性质，可以考虑以下三种形式：

若ap－bp＝pα（2p＋1）β成立，当β≥4时，由引理2有

当β≤3时，由情况4可知ap－bp不含素因子p的方幂，故当α≥1时，ap－bp＝pα（2p＋1）β且1≤β≤3不成立，故ap－bp＝（2p＋1）β。当β＝3，ap－bp＝（2p＋1）3时，有

而a－b｜ap－bp，所以可设a－b＝（2p＋1）n，由引理1可知

所以 n＝0，3。

即a－b＝1或a－b＝（2p＋1）3＝ap－bp，这与（a，b）＝1且a≥b＋1，p≥17以及a－b＜ap－bp矛盾。显然2p－1≤ap－bp＝（2p＋1）β，由1≤β≤2与p≥17。通过计算可得上述不等式不成立。

同理可证：ap－bp＝pα（4p＋1）β或ap－bp＝pα（6p＋1）β时定理成立，于是定理得证。

［1］Lu Yaming.On the soulution of an equation involving the Smarandache function［J］.Scientia Magna，2006，2（1）：76－79.

［2］苏娟丽.关于Smarandache函数的一个下界估计［J］.纺织高校基础科学学报，2009，22（1）：133－134.

［3］温田丁.Smarandache函数的一个下界估计［J］.纯粹数学与应用数学2010，26（3）：413－416.

［4］石鹏，刘卓.Smarandache函数在数列上的一个下界估计［J］.西南师范大学学报（自然科学版），2013，38（8）：10－14.

［5］Mark F，Patrick M.Bounding the Smarandache Function［J］.Smarandache Notion Journal，2002，13（1）：2－3.

［6］张文鹏.初等数论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2007.

［7］Apostol TM.Introduction to Analytic Number Theory［M］.New York：Spring－VErlag，1976.

［责任编辑 毕 伟］

A Lower Bound Estimate for Smarandache Function on Sequence ap－bp

GAO LI1，HAO Hong-fei1，2，LUWei-yang1
（1.College of Mathematics and Computer Science，Yanan University，Yanan 716000，China；
2.Dianzegou Nine－year School，Yulin 719000，China）

To study a lower bound estimate problem of Smarandache Function on Sequence ap－bp.Using the elementary and combinationalmethods.It is proved the Estimate S（ap－bp）≥8p＋1，where p≥17 be any prime，a and b are two positive integers with a＞b.A lower bound estimate of Smarandache Function on Sequence ap－bpis given.

Smarandache function；lower bound estimate；elementarymethod；combinationalmethod

O156.4

A

1004－602X（2014）03－0001－03

10.13876/J.cnki.ydnse.2014.03.001

2014 05 06

国家自然科学基金资助项目（10271093）；延安大学自然科学专项科研基金项目（YDZ2013－04）；延安大学硕士研究生教育创新计划项目

高 丽（1966—），女，陕西绥德人，延安大学教授。