关于Diophantine方程x3＋1＝Dy2的整数解

廖 军，杜先存

（1.文山学院数学学院，云南文山663000；2.红河学院教师教育学院，云南蒙自661199）

DOI：10.3969／J.ISSN.1004－602X.2014.02.010

关于Diophantine方程x3＋1＝Dy2的整数解

廖 军1，杜先存2

（1.文山学院数学学院，云南文山663000；2.红河学院教师教育学院，云南蒙自661199）

设p是6k＋1型的奇素数，运用同余式、平方剩余和Pell方程的解等初等方法研究了Diophantine方程x3＋1＝Dy2（D＝p，3p）的正整数解的情况。

Diophantine方程；奇素数；同余；最小解；正整数解

Diophantine方程是数论中最古老的一个分支，内容及其丰富，与代数数论、代数几何、组合数学等有着密切的联系，在信息编码理论、代数数论、以及丢番图分析理论中都要用到不少类型的三次不定方程的结果，这就迫使我们研究三次不定方程的一些基本类型的解法。方程x3＋1＝Dy2（D是无平方因子的正整数）是一类重要的Diophantine方程，其整数解已有不少人研究过。1981年，柯召和孙琦［1］证明了当D不含6k＋1型的素因子时，方程x3＋1＝Dy2无正整数解，但当D含6k＋1型的素因子时，方程的求解较为困难，这是一个迄今未解决的问题。韩云娜、梁勇［2］证明了p为3（12k＋m）（12k＋m＋1）＋1（k∈N，m＝5，6，7，8）型素数且24k＋2m＋1也为素数时，方程x3＋1＝3py2无正整数解。陈晓化、李志平［3］证明了p为3（3k＋1）（3k＋2）＋1（k∈N）时方程x3＋1＝3py2无正整数解。高洁、袁进［4］证明了p为3（8k＋t）（8k＋t＋1）＋1（t＝3，4）型素数时，设y0＝16k＋2t＋1，如果y0有素因素q≡±（mod 8），则方程x3＋1＝py2无正整数解。杨雅琳［5］证明了p为3（24k＋19）（24k＋20）＋1型素数时，方程x3＋1＝py2无正整数解。

本文主要讨论p是6k＋1型的奇素数时，Diophantine方程x3＋1＝py2与x3＋1＝3py2的解的情况。

1 若干引理

引理1［6］若p＝3n（n＋1）＋1（n∈N），则的最小解为（2，2n＋1）。

引理2［7］：设a＞1，（a，b）∈N2，ab不是完全平方数，如果ax2－by2＝1有解（x，y）∈N2，设x1＋y1是方程ax2－by2＝1（x，y∈Z）的基本解，则ax2－by2＝1的任一组解可以表示为：x＋y＝±（x1＋y1）2n＋1，n∈Z。

引理3［8］设p是奇素数，则方程组x＋1＝3 pu2，x2－x＋1＝3v2无非零整数解。

引理4［8］设p是奇素数，则方程组x＋1＝9 pu2，x2－x＋1＝3v2无非零整数解。

2 主要定理

定理1设p＝3n（n＋1）＋1≡5（mod 8）为奇素数，若存在形如8k－3，8k＋3型的素数q使得q｜（2n＋1），则Diophantine方程无正整数解。

定理2设p＝3n（n＋1）＋1为奇素数，若存在形如24k±7，24k±11型的素数q使得q｜（2n＋1）则Diophantine方程

x3＋1＝3py2

无正整数解。

定理3设n≡1（mod 3），p＝3n（n＋1）＋1为奇素数，则Diophantine方程无正整数解。

3 定理证明

3.1 定理1证明

证明：由（2），得

因为（x＋1，x2－x＋1）＝1或3，则（4）给出下面四种分解：

情形Ⅰ：x＋1＝u2，x2－x＋1＝pv2，y＝uv，gcd（u，v）＝1

情形Ⅱ：x＋1＝pu2，x2－x＋1＝v2，y＝uv，gcd（u，v）＝1

情形Ⅲ：x＋1＝3u2，x2－x＋1＝3pv2，y＝3uv，gcd（u，v）＝1

情形Ⅳ：x＋1＝3pu2，x2－x＋1＝3v2，y＝3uv，gcd（u，v）＝1

对于情形Ⅰ，由x＋1＝u2，得x＋1＝u2≡0，1，4（mod 8），则x＝u2－1≡0，3，7（mod 8），则x2－x＋1≡1，3，7（mod 8）。由第二式知v为奇数，故v2≡1（mod 8），而p≡5（mod 8），故pv2≡5（mod 8），矛盾。故情形Ⅰ不成立。

对于情形Ⅱ，由x2－x＋1＝v2，得x＝0，1，均不符合x＋1＝pu2，故情形Ⅱ不成立。

对于情形Ⅲ，将x＋1＝3u2代入x2－x＋1＝3pv2，整理得

则（2v，2u2－1）是方程（1）的一组解。因为p＝3n（n＋1）＋1，则由引理1，得（2，2n＋1）是方程（1）的最小正整数解。

由引理2知，从（5）可得：

对于情形Ⅳ，由引理3知情形Ⅳ不成立。

综上有，方程在题设条件下无正整数解。

3.2 定理2证明

设（x，y）是方程（3）的正整数解，由费马小定理可知x3≡x（mod 3），故有x3－1≡x－10（mod 3），此时x2＋x＋1≡0（mod 3），故gcd（x－1，x2＋x＋1）＝3。

情形Ⅰ：x＋1＝9pu2，x2－x＋1＝3v2，y＝3uv，gcd（u，v）＝1

情形Ⅱ：x＋1＝9u2，x2－x＋1＝3pv2，y＝3uv，gcd（u，v）＝1

由引理4可得，情形Ⅰ不成立，故（3）给出：x＋1＝9u2，x2－x＋1＝3Dv2，对于（7），将x＋1＝9u2代入x2－x＋1＝3Dv2，整理得

则（2v，2u2－1）是方程的一组解。因为p＝3n（n＋1）＋1，则由引理2，得（2，2n＋1）是方程的最小正整数解。

由引理1知，从（8）可得：

又由题意知，q≡±3（mod 8），故

综上有，方程（3）在题设条件下无正整数解。

3.3 定理3证明

证明：由定理2的证明可知，（3）给出：对于（7），将x＋1＝9u2代入x2－x＋1＝3pv2，整理得

则（2v，2u2－1）是方程（1）的一组解。因为p＝。

又由题意知，q≡±7，±11（mod 24）故3n（n＋1）＋1，则由引理1，得（2，2n＋1）是方程（1）的最小正整数解。

由引理2知，从（8）可得：

由（9）可得6u2－1≡0（mod（2n＋1）。又因为n≡1（mod 3），故2n＋1≡0（mod 3），即3｜（2n＋1），所以6u2－1≡0（mod 3），因此6u2≡1（mod 3），这不可能，故（7）不成立。

综上有，方程（3）在题设条件下无正整数解。

［1］柯召，孙琦.关于丢番图方程x3±1＝Dy2［J］.中国科学，1981，24（12）：1453－1457.

［2］韩云娜，梁勇.关于Diophantine方程x3＋1＝3py2［J］.云南民族大学学报，2010，19（6）：464－465.

［3］陈晓化，李志平.关于Diophantine方程x3＋1＝3py2［J］.重庆工学院学报，2009，23（4）：44－45.

［4］高洁，袁进.关于Diophantine方程x3＋1＝py2［J］.纯粹数学与应用数学，2010，24（4）：687－688.

［5］杨雅琳.关于Diophantine方程x3＋1＝py2［J］.高师理科学刊，2008，28（5）：41－42.

［6］杜先存，史家银，赵金娥.关于不定方程x3－1＝py2［J］.西南民族大学学报（自然科学版），2012，38（5）：748－751.

［7］夏圣亭.不定方程浅说［M］.天津：天津人民出版社，1980：97－98.

［8］张同斌，潘家宇.关于丢番图方程x±1＝3Dy12，x2∓x± 1＝3［J］.河南教育学院学报（自然科学版），1999，8（3）：1－3.

［责任编辑 贺小林］

On Integer Solution of the Diophantine Equation x3＋1＝Dy2

LIAO JUN1，DU Xian-cun2
（1.College of Mathematics，Wenshan University，Wenshan 663000，China；
2.Teachers＇Educational College，Honghe University，Mengzi661199，China）

Let p be an odd prime of the form 6k＋1.Using the elementarymethods of congruent formula and quadratic residue and Pell equation，positive integer solutions of the Diophantine equation x3＋1＝Dy2（D＝p，3p）were discussed.

Diophantine equation；odd prime；congruence；least solution；positive integer solution

O156.1

A

1004－602X（2014）02－0010－03

2014 03 03

云南省教育厅科学研究项目（2012Y270）；文山学院重点“数学”项目建设（No.12WSXK01）

廖 军（1977—），男，云南西畴人，文山学院讲师，硕士。