例说解题方法的改进

李剑

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）01-0114-01

我相信许多数学教师都会发现，不少学生虽然喜欢解题，但只考虑答案的对否。题目一旦获解，就会产生满足感，往往不愿意再回头看看，不愿意再想想这种解决是否最佳，忽略解题后的再思考，这是非常可惜的，因为这样恰好错过了提高的机会，无异于“入宝山而空手回”。美藉数学家波利亚曾有一句名言：没有任何一道题是可以解决得十全十美的，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。

仿照他的做法，我与我的初中毕业班学生一起，也经常分析，力图开发解题智慧，并收到一些效果。

一、通过介绍“改进‘曹冲称象的方法”提高学生对开发智慧的认识

“曹冲称象”这个千古流传的故事，称赞了年仅七岁的曹冲智慧过人，解决了当时历史条件下的一道非常规数学应用题。为了开发解题智慧，我引导学生想一想，这种方法是否还可以改进。罗增瑞教授曾就这个问题与一位小学二年级学生进行探讨。在他的启发下，这位小学生最后得出：“组织围观的人代替石头，要不，赶一群羊上船也行，既省工又省时。”看到这里，相信读者也会与罗教授一样高兴，称赞这个方法确实比曹冲强。由此，也一定能得出以下结论：（1）即使是“智慧典范”的解题过程也会有解题愚蠢。（2）即使是对小学生进行解题过程的分析与启引，也能开发解题智慧来。

通过这个生动事例的介绍与讲解，同学们都感到解题分析的前景是广阔的，从而大大增强了他们的信心。

二、通过具体的解法的改进，开发学生的解题智慧

1.抓住本质。例1：如果关于x、y的二元一次方程组 。

评析：这道题，有些同学会很匆忙把x、y代入第一个方程组，求出a、b后再解第二个方程组，这明显是解题的愚蠢了。我们知道，对于同一类方程（组），它的解取决于它的系数，而与它采用的字母无关，这道题前后两个方程组，虽然表面不同，但只要把第二个方程组的x+y、x-y分别看成两个整体变元，那么它与第一个方程中的系数就相同，那么它的解也应相同，即有 抓住问题的本质，运用方程的思想，解这道题就容易多了。

2.考虑题型。例2：某个体户在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件以135元出售，若按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%。在这次买卖中这个个体户是（ ）。

A、不赚不赔 B、赚9元 C、赔18元 D、赚18元

请比较下面两种解法：

解法1（直接法）：设两件上衣成本分别为x、y，依题意

解法2（筛选法）：因亏本那件上衣成本肯定大于135元，其亏的款大于25%×135，而盈利那件上衣成本肯定小于135元，真赚的款小于135×25%，由此可知这个买卖肯定是赔，故可删除A、B、D，选C。

显然，解法2比解法1简捷，根据题目类型，采用不同解法，往往能达到事半功倍的效果。

3.“问道于零”。例3，阅读下面的解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，试判断△ABC的形状。

解：∵a²c²-b²c²=a⁴-b⁴（A）

∴c²（a²-b²）= （a²+b²）（a²-b²） （B）

∴c²= a²+b²（C）

∴△ABC是直角三角形

问：①上述解题过程，从哪一步开始出现错误，代号 ；②错误的原因为___________；③本题的结论是___________ 。

评述：我国著名数学家傅种孙先生说过：“总之，在中学代数，把根本概念的难关通过后，每遇困难，即问道于零可尔，当教师的人，能对零谨慎小心，则受福无量矣！”阅读分析解题过程可发现（C）步错误，原因是a2-b2可以为零，当学生在解代数题过程中，思路受阻或出现错误，教师若引导学生“问道于零”，往往可“受福无量”。

4.结合实际。例4：（丢番图的墓碑趣题）他生命的六分之一是幸福的童年，再活了他寿命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过5年，他有了儿子，可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中过了四年，也与世长辞了。请回答：①他结婚时的年龄；②他开始当爸爸时的年龄；③他儿子死时他的年龄；④他去世的年龄。

评析：这是人教版初中代数第一册（上）“想一想”的内容，选自世界上许多国家的中学代数教材或趣味代数，课外读物中的著名问题。学生一般是这样解的：设他去世时的年龄为x，依题意得x=+++5++4，通过解方程可得出全部结果。

深入想一想，这道题是否可以不列方程，而求解呢？不少学生马上意识到，这是可能的，因为从题意可知，他的年龄应当是6、12、7、2的最小公倍数84，其它公倍数是不可能的，例如168，则其六分之一应是28，28岁是童年吗？而一般人也活不到168岁。

认真引导学生进行解题分析，开发解题智慧，通过有限道题的学习培养解无限道题的解题机智，提高他们分析问题、解决问题的能力，这是数学教学的目的所在。对那些独到的、新疑的、绝妙的解法以特别的鼓励，这对培养学生的创新思维习惯更具有积极意义。

（责任编辑 刘凌芝）endprint