一类行程问题的解法

张青

【中图分类号】O1

1 提出的问题

设一条狗与主人在岸边隔河相对，河水以常速流动。狗在静水中每小时2千米的速度向对岸游去，在全部游程中狗一直朝着主人的方向流动，如果狗游到河宽三分之二的地方才停止向下游漂流， 又狗游过河的时间比静水中过河多用5分钟， 问河宽为多少？

2 问题的分析

首先建立坐标系，设法求出狗游动曲线的方程；其次，方程与河水流速有关，利用“游到河宽三分之二处停止向下游漂流”应该可以确定河水的流速；最后，利用积分可求出狗实际过河的所用时间，考虑到“多用5分钟”及狗在静水中的游速，河宽则不难得出.。下面分三步求解。

3 问题的解法

取狗的最初位置为原点，从狗引向主人的直线作轴，沿河向下游的方向为轴正向，建立坐标系，设河宽为，河水流速为u，狗的游动曲线为y=f（），并记曲线上点（，y）到点（，0）的直线与ox轴所夹的锐角.

首先，求y=f（x）的方程。考虑狗游动时在沿x轴和y轴方向的分速度，有

（1）

令由（1）可得

（2）

在= 两边对求导，得

.

将（2）代入上式，整理可得

.

分离变量后两边积分得

即有

因为x=0时=0，从而代入上式知所以有

（3）

又 （4）

由得： ，

将代入公式，整理的狗流动曲线方程

. （5）

再求，河水的流速u. 由于狗在河宽三分之一处停止下漂，即（5）式的当

时有最大值，所以应有将（5）式对求导并令导数为零，有

，

将上式整理化简得

.

将代入上式可求出或，舍去知河水流速为每小时1千米.

最后，求河宽，由（1）有

， .

将 （ 3 ） 与 （ 4 ） 相加的结果代入上式， 并注意到就有

.

对上式两边积分，得

.

将，代入知，所以

.

将代入上式得狗游过河所用的时间为. 因为比狗在静水中过河的时间多5分钟，即有

， （千米），

此时（小时），所以，河水流速为每小时1千米，狗20分钟可游过河，河宽

为0.5千米。

参考文献

[1] 同济大学主编，高等数学（下册）. 北京：高等教育出版社，第六版。

[2] 陈纪修主编，数学分析. 北京：高等教育出版社，第二版。