广义电子气体的磁化

王兆军，朱春花，吕国梁

（新疆大学物理学院，乌鲁木齐 830046）

广义电子气体的磁化

王兆军，朱春花，吕国梁

（新疆大学物理学院，乌鲁木齐 830046）

电子气体磁化是热力学与统计物理等学科教学中经常采用的理论应用方面的范例。就广义电子气体的磁化展开讨论，涵盖了从经典到量子、从简并到非简并、从非相对论到相对论、从弱场到强场等的许多范围，对学生掌握概念、体会物理理论的使用范围等方面具有很好的示范作用。其中相对论电子气体磁化的结果来自作者的科研成果，没有详细论述，可参阅文中所列举的参考文献进行了解。另外，文中所包含的磁相变内容也是教学中讨论各种相变的实例之一。

磁化;自旋磁矩;朗道量子化;磁相变

电子气体广泛存在于金属、半导体、异质结和各种密度范围的等离子体中，在地面实验室中见到的电子气体多是非相对论的，在部分天体等离子体中（如一般恒星的内部、恒星耀斑等）出现的电子气体也可当作非相对论的，而致密天体内部（包含白矮星和脉冲星）的电子气体则是相对论的。正是电子气体在磁场中的磁化导致了在各种地球实验室和天空实验室中所感测到的各种现象，如金属中的铁磁现象、霍尔效应、de Haas-van Alphen震荡效应、Shoenberg效应、Condon磁相变等，这些现象也应该在致密天体中有相应的应用。因此，电子气体磁化具有非常重要的应用价值。

1 介质磁化的一般概念

自然界中宏观静态磁场的一般物质载体只有两个，一个来自带电粒子的定向运动，即通常意义下的传导电流；另一个则来自基本粒子的磁偶矩（包括内禀磁矩和轨道磁矩）的规则排布。诚然，均匀变化的电场也能激发静态磁场，但它不属于一般物质的范畴，在这里，我们不考虑这种特殊的物质形态形式。在通常情况下，由于热运动的影响，介质中磁偶矩的取向是无规则的，只有在外加磁力矩的作用下，磁偶矩在一定程度上沿磁场的方向排列起来，这种现象叫做介质的磁化。介质被局域磁化的程度用磁化强度矢量M描述，其物理意义是介质中单位体积内的磁偶极矩。另一个具有观测意义的物理量叫磁感应强度B，它与磁化强度的关系可通过辅助物理量H表述：B∕μ0=H+M，其中，μ0是真空中的磁导率，H叫磁场强度，它的唯一意义是其旋度由自由电流密度j决定，∇×H=j，但它自身并不能由自由电流唯一确定。因此，这3个宏观局域物理量中只有两个是独立变量。在实际应用和地球实验室中遇到的问题通常是一块磁材料在外场中的磁化问题，此时的H就是外加磁场，而磁化强度矢量M只认为是外加磁场H的函数。如果介质是均匀、各项同性的线性介质，磁化规律具有简单的形式：M=χmH，这里的χm叫介质的磁化率。若遇到的是物质系统的自磁化问题，H不再具有如此简单的物理含义，天体中的磁化就属于此类问题，它们的磁化场来自于系统本身。

实际上，磁偶矩受到的力矩作用来自于B而非H，因此，磁化强度矢量M应该是磁感应强度B的函数。这种由B取代H的结果叫Shoenberg效应，它是Shoenberg在1962年研究金属鉍的磁化现象时首先提出的〔1〕。传统意义下的磁化只考虑磁偶矩受外场的作用，忽略了磁偶矩间的相互作用，Shoenberg效应则顾及了这种磁相互作用，在弱磁化条件下，传统的处理只是一种近似。若不是弱磁化，这种磁相互作用会导致不同位置的磁化相互激发，在适当条件下，相互间的磁化可能发生级联效应，也就是说磁化是非稳定的，稳定的态是一种新的磁化相，用热力学的术语来说就是系统发生了磁相变。理论上可能存在两种磁相变，下面分别讨论这两种相变。

①若最初时无外场存在，即H=0，此时，B=μ0M(B)，在这里已将磁化强度矢量M明确地表示成磁感应强度的函数。若此方程有解，表明在介质内发生了自发磁化现象，这就是在铁磁材料中磁畴内所观测到的现象〔2〕。若外场非零，且介质为线性介质，重新定义静态磁化率χm为：χmB=μ0M，则B和H间满足关系

上式表明，当χm→1时，介质趋于饱和磁化，χm≥1是自发磁化相变发生的必要条件之一。

②另一类相变发生在外加磁场非零的情况。当外场发生变化时，介质内的磁感应强度和磁化强度相应地变化，它们的变化间满足关系：δB=μ0（δH+δM），若定义介质的微分磁化率χ~mδB=μ0δM，则δB和δH间满足关系

因为δB和δH必须同正负，所以微分磁化率必须小于1。在低温强磁场下的某些金属，它们的磁化随外场震荡，这种现象叫de Haas-van Alphen效应，当外磁场变化至微分磁化率大于或等于1时，原来均匀分布的磁场相变成具有反向磁化强度的磁畴结构，这种相变叫Condon相变，相应的磁畴结构叫Condon磁畴〔3〕。因此，χ~m≥1时发生的是Condon磁相变。下面以电子气体为例具体讨论磁化的各种表现。

2 非相对论电子气体的磁化

电子气体是自旋为1∕2的费米系统，其态分布服从费米-狄拉克统计。虽然电子在磁场中的经典运动是螺旋线的轨道运动，实际的运动却是量子化的，即电子在垂直磁场方向上的运动是朗道量子化的。因而电子气体的磁化是一个多范围（从非相对论至相对论）、多方法（经典和量子方法）的研究实例。在下面关于磁化的论述中，我们经常忽略作为电子背景（原子或离子）的磁矩。

2.1经典电子气体自由电子在磁场中的经典运动是螺旋线运动。在洛伦兹力作用下，电子轨迹在垂直磁场方向的投影是闭合的拉莫尔圆轨道。多种方法可以证明经典电子气体是无磁化的。

①洛伦兹力不对电子做功，因而电子气体在外加磁场前后的能量没有改变，磁场本身的能量也不发生变化，说明电子气体没被磁化。

②虽然电子拉莫尔圆轨道运动贡献一个反磁矩（因为拉莫尔轨道磁矩的符号总是负的），气体内部的总磁矩也与外磁场反向，但是靠近系统边界面上的电子（距界面的距离小于拉莫尔半径）由于反弹而不能完成完整的轨道运动，相当于在边界面上有反向的闭合电流分布，该电流分布的磁矩恰与内部的整体反磁矩抵消〔4〕，相当于系统没被磁化。

③更标准的经典电子气体非磁化理论来自经典统计方法。考虑具有位置坐标ri和动量坐标pi的N个自由电子组成的经典气体，其配分函数满足

其中，β=1∕kT（k是玻尔兹曼常数，T是系统的温度），H是系统的哈密顿函数

其中，A代表磁场的矢量势，且B=∇×A，电子的电量和质量分别为-e和me。在（3）式中的积分中可进行动量变换而消除A，

根据系统的自由能F=-lnz∕β可计算磁化强度上述方法叫Bohr-van Leeuwen理论。

2.2量子电子气体实际上，自由电子在磁场中的运动是量子化的。一方面是由于电子具有自旋，自旋在磁场中的取向只有同向和反向两个分立的取向，相应的能级分别为-μBB和+μBB，其中的常数 μB叫玻尔磁子。另一方面，自由电子在垂直磁场方向的运动是束缚运动，相似于在原子核库仑作用下的轨道运动，它们的角动量（或磁矩）、能量等是量子化的。电子在磁场中横向运动的量子化叫朗道量子化，相应的量子化能量叫朗道能级，每个朗道能级都是简并的，简并度为外磁场磁通Φ中所含元磁通量子Φ0=hc∕e的数目，即G=Φ/Φ0。量子电子气体的态分布满足泡利不相容原理，其统计服从费米-狄拉克统计。为全面讨论广义（即全范围的温度、磁场、密度等效应）量子电子气体的磁化，先引入几个能量参数。①电子静止能量 μe≡mec2；②电子气体的热运动动能εT≡kT；③电子气体的费米能或零点动能（绝度温度等于零）εF；④电子在磁场中的回旋能（非相对论时的朗道能级间隔）εc≡μBB=μeB∕BQ，BQ=4.4×1013G是量子磁场（即回旋能等于静止能）。当εF<μe时，系统是非相对论的，否则是相对论的；当εc<εT（即弱场磁化）时，系统近似满足线性磁化规律，否则为非线性磁化。下面在非相对论条件下分别讨论线性和非线性磁化。

2.2.1 弱场下的电子气体 在弱场条件下，εc<εT，即相邻朗道量子化能级间隔小于热动能，量子化效应不是很显著，此时自旋和轨道两种量子化效应相互独立，可单独分析，很多参考文献中都有这方面的详细推导〔5〕。结果表明，自旋取向量子化导致电子气体呈现泡利顺磁性，而轨道量子化的结果则是朗道反磁，后者大小是前者的三分之一。比较εF与εT的大小，磁化问题又可区分两种情况。

①非简并情况，εF<εT。这时的量子电子气体态分布可近似当作经典的玻尔兹曼分布，在外场中的磁化是线性磁化，相应的磁化率为〔6〕

式中的n为电子数密度，α为精细结构常数，在最后的等式中已将磁化率表示成以能量为参量的无量纲化形式。上式表明，磁化率与温度成反比，这就是熟知的居里定律。

②简并情况，εF>εT>εc。电子气体主要分布于动量空间的费米球内，只有费米球面的电子占据受温度影响而发生微小变化，此时系统的化学势近似等于费米能，这时的磁化仍是线性磁化，相应的磁化率为〔6〕（忽略温度效应）

显然，线性磁化的自由电子气体不能发生自发磁化，即方程B=μ0M(B)只有零解，这是无规则热运动大于有序磁相互作用的结果。

2.2.2 强场下的简并电子气体 在强场条件下，εF>εc>εT，电子分布在与磁场有关的分立能级上，因此是简并的。系统的能量随磁场发生变化，特别是当电子填满最后一个朗道能级时，系统能量会随磁场发生剧烈震荡，这就是产生de Haas-van Al⁃phen震荡效应的原因。根据朗道能级和简并度的表达式，用量子统计的方法写出巨势的离散求和形式，当朗道量子数大于2时，用近似方法可将求和变成积分，最后可得到磁化震荡形式的解析解，这是许多参考文献中都能见到的求解过程〔5〕。微分磁化率的最终结果可表示成（忽略温度效应）

其中无量纲形式的系数为

（9）式的结果表明，在强磁场下，简并电子气体的磁化随磁场而震荡，按变化的震荡频率为

（10）式表示的基频振幅是费米能和磁场的函数，在足够高费米能和足够低磁场的条件下，系统有可能出现磁相变。当χ~m=1（或χm=1）时，将出现自发磁化，这种现象叫朗道轨道铁磁现象〔7〕；当χ~m>1时，电子系统将出现Condon磁相变。

3 相对论电子气体的磁化

在致密天体（白矮星、脉冲星）内部存在相对论的电子气体，如中子星固体壳层内的电子，其费米能达到εF～50MeV的量级，远高于电子的静止能～0.5 MeV，而热运动动能只有几百电子伏特的量级，因此，中子星内部的电子是高度相对论和高度简并的费米系统。相对论电子气体在磁场中的本征值、本征态问题需求解狄拉克方程，其能级为相对论的朗道能级

式中的pz为电子沿磁场方向上的动量分量，朗道量子数r=0,1,…，量子数等于零时只有一种自旋取向，其它则包含两种取向。（12）式表明相对论电子的能谱不再是线性的，这是与非相对论情况的主要不同，但仍可用与非相对论相似的统计方法研究磁化。为一般讨论电子气体的磁化性质，将相对论情况的磁化也区分为弱磁场和强磁场两种情形。

①弱场下的相对论电子气体。若εc<εT，相对论电子气体同样服从线性磁化规律〔5〕。磁化率的结果为

上式表明，线性磁化率随费米能的增加按对数函数增加，即使在中子星内部的致密电子气体中，其磁化率也远小于1。

②强场下的相对论电子气体。若εc>εT，磁化同样随磁场按de Haas-van Alphen效应震荡，微分磁化率具有与（9）式相同的形式，只是具有不同的震荡周期和振幅〔6〕。

此时的震荡频率和基频震荡振幅〔8〕分别为

和

在中子星内部，由于高的电子费米能（～50 MeV），式（15）表示的基频震荡振幅在很宽的磁场范围内（B<170BQ）都可大于1，因此，中子星内部可以发生磁相变。当χ~m=1（或χm=1）时，将出现朗道轨道铁磁现象；当χ~m>1时，电子系统将出现Condon磁相变。

4 总结

文章中我们全面讨论了广义电子气体的磁化，其范围包含相对论与非相对论；经典与量子化；简并与非简并；弱场与强场等。为讨论磁相变行为，文章中还给出了不同范围内磁化率的计算公式，分析了发生自发磁化和Condon相变的可能。我们的研究表明，中子星内部的电子气体可近似为完全简并和相对论的费米系统，系统的磁状态在中子星内部的某些层次上会出现Condon相变态，类似于两种畴结构的反铁磁态。畴结构的出现可能引起不稳定行为的发生，导致在磁星（磁场超强的一类中子星）中观测到的爆发现象，详细的讨论请参阅参考文献〔9〕。

〔1〕SHOENBERG D.The Fermi surfaces of copper，silver and gold I.The de Haas-van Alphen effect〔J〕.Philosophical Transactions of The Royal Society A Mathematical Physical and Engineering Sciences，1962，255（1052）:85-133.

〔2〕赵凯华，陈熙谋.电磁学：下册〔M〕.北京：高等教育出版社，1985：65-72.

〔3〕CONDON J H.Nonlinear de Haas-van Alpheneffect and magnetic domains in beryllium〔J〕.Phys.Rev.，1966，145: 526-535.

〔4〕EGOROV V S.Condon domains-these non-magnetic dia⁃magnetic domains〔J〕.Cond.Mat.，2005，5415:1-35.

〔5〕LANDAU L D，LIFSHITZ E M.Statistical Physics〔M〕.3nd Edition.New York:Pergamon Press，1980:158-183.

〔6〕王兆军，吕国梁，朱春花，等.中子星中简并电子气体的临界磁化〔J〕.物理学报，2011（4）:836-845.

〔7〕LEE H J，CANUTO V，CHIU H Y，et al.New state of ferro⁃magnetism in degenerate electron gas and magnetic fields in collapsed bodies〔J〕.Phys.Rev.Lett.，1969（23）:390-393.

〔8〕王兆军，吕国梁，朱春花，等.相对论简并电子气体的磁化〔J〕.物理学报，2012，61（17）:1-6.

〔9〕WANG Z J，LYV G L，ZHU C H，et al.The Shoenbergef⁃fect in a relativistic degenerate electron gas and observa⁃tional evidence in magnetars〔J〕.Astrophys.J.，2013，773（2）:160-165.

（责任编辑 袁 霞）

The Magnetization of Free Electron Gas for the Entireregimes

WANG Zhaojun,ZHU Chunhua,LYU Guoliang
（School of Physical Science and Technology,Xinjiang University,Urumqi 830046,China）

Magnetization of free electron gas for the entire regime is an ideal example for the teaching of thermodynamics and statistical mechanics et al.The entire regime includes degenerate and non-degenerate,classical and quantum,non-relativistic and relativistic,low magnetic field and high magnetic field et al.From this,students can understand the conception of physics and the differences between application range of physical theory.The relativistic parts about magnetization of electron gas come from the results of author,which can be referenced from corresponding references.However,the magnetic phase transition in this paper is also an ideal example for the teaching and the study of general phase transitions.

magnetization;magnetic moment of spin;Landau quantization;magnetic phase transition

O4-1：P142.6

A

1672-2345（2014）06-0033-05

10.3969∕j.issn.1672-2345.2014.06.009

国家自然科学基金资助项目（10963003）;新疆大学博士基金资助项目（BS110108）

2014-01-02

2014-01-28

王兆军，副教授，主要从事理论物理研究.