微元法的易错例析

陈亮

微元法是解决高中物理运动学经常用到的方法，很多老师只在推到基础公式时使用微元法，而在具体问题中，并不深入讨论，因此许多学生感觉难以掌握。下面我们通过两道运动学问题，弄清楚利用微元法处理图像问题时的思路，并避免学生们出现由于对微元法的理解不深入而发生的一些错误。

问题一：

蚂蚁离开洞穴沿直线爬行，它的速度与到蚁穴中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距穴中心L1=1m的A点处时，速度是v1=2cm/s.试求蚂蚁继续由A点爬到距穴中心2m的B点需要多长的时间？

第一种解法：微元法，这种方法处理时需要用到等差数列的求和公式，对学生的数学能力提出一定的要求，但是这种解法，能培养学生思维的连续性，使其对问题的理解更加深入。

解析：因为蚂蚁的速度与到蚁穴中心的距离成反比，设比例系数为k，所以v =

代入数据L1=1m， v1=2cm/s得：v =

蚂蚁由A爬到B时，将AB段分成n段，每段长为ΔL =

当n取无限大时，ΔL取无限小，可以认为每段的瞬时速度等于平均速度

在第i段路程，vi =

所以ti == 50ΔL（1+iΔL）

解得t总= Σti = Σ50ΔL（1+iΔL） = 50ΣΔL（1+iΔL）

=

将ΔL = 代入上式，

得t总 =

因为n趋近于无穷大，所以t总 = 75s

第二种解法：图像法，这种方法处理时对学生将物理模型转化成图像的能力有比较高的要求，但是图像法处理问题更加直观、有效，题目的处理也变得简单。

解析：因为蚂蚁的速度与到蚁穴中心的距离成反比，设比例系数为k，所以v =

代入数据L1=1m， v1=2cm/s得：v =

可以看到，L和 成正比，以1/v为纵轴，以L为横轴，作图1：

图中阴影部分的面积即为所求的时间，代入数据：

t总 = S ==s = 75s

图像法易错分析，在利用上述方法处理图像问题时，横纵坐标分别用什么来表示什么物理量非常重要，一定要慎重选择，若此问题按如下步骤解决，我们来看一下：

解析：因为蚂蚁的速度与到蚁穴中心的距离成反比，设比例系数为k，所以v =

代入数据L1=1m， v1=2cm/s得：v =

因为v和成正比，以v为纵轴，以1/L为横轴，作图：

如图2所示，阴影中的面积应为

即= s

解得t = s

我们注意到，同样是图像法，只是横纵坐标发生了变化，结果却不一致，其中一定有错误出现，仔细研究后不难发现，图像法也是利用无限微分的原理来解决问题的，第一个图像中，将AB之间分成无限份之后累加起来，即：L1+L2+L3+……+Ln=L，而在第二个图像中，+++……+≠，即微分法不能成立，也就是说，第二个图像的横纵坐标的表示方法是错误的，所以第二个图像所得的结果是错误的。

无独有偶，我们再来求解这样一个问题，与上述题目非常相似，来看一下：

问题二：

一只蜗牛从地面上开始沿竖直电杆上爬，它上爬的速度与它离地面的高度之间满足的关系是v = ，其中L=20cm，v0=2cm/s，求它上爬20cm所用时间。

这个问题与上面问题的不同之处在于，V与L不再成反比关系，较上个问题解决起来，看似变得更加复杂，我们来看一下它的解法。

第一种解法：微元法：

解析：因为蜗牛的速度是变化的，所以在蜗牛运动中，

v = = ，

dt =

对上两边同时积分得：

T =

将L=20cm，v0=2cm/s，h=20cm代入得

t = 15s

第二种解法：图像法：

解析：因为蜗牛运动时间是由每一小段时间Δt=Δh/v，累加而成，即t=ΣΔh/v，故可以建立1/v-h图：

由v = ，得 =

T =

代入数据得：

t=15s

处理上面问题时，我们可以将v =转化为：= ，可以看到，1/h与v不成反比关系，如果使用作图法来处理上述问题，就会发上如问题一出现的情况，使答案中出现不容易发现错误。

通过以上两个题目的分析可知，在使用作图法解决非匀变速直线运动问题的时候，会使问题变得简单，但是其本质上是用微元法通过面积累加来求解时间，一定要注意，是否可以利用无限微分累加求和的方法来对横坐标进行求和，若不能，则解出来的答案就会发生这种不容易察觉到的错误。

（作者单位：珠海市斗门区第一中学）

责任编校 李平安endprint

微元法是解决高中物理运动学经常用到的方法，很多老师只在推到基础公式时使用微元法，而在具体问题中，并不深入讨论，因此许多学生感觉难以掌握。下面我们通过两道运动学问题，弄清楚利用微元法处理图像问题时的思路，并避免学生们出现由于对微元法的理解不深入而发生的一些错误。

问题一：

蚂蚁离开洞穴沿直线爬行，它的速度与到蚁穴中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距穴中心L1=1m的A点处时，速度是v1=2cm/s.试求蚂蚁继续由A点爬到距穴中心2m的B点需要多长的时间？

第一种解法：微元法，这种方法处理时需要用到等差数列的求和公式，对学生的数学能力提出一定的要求，但是这种解法，能培养学生思维的连续性，使其对问题的理解更加深入。

解析：因为蚂蚁的速度与到蚁穴中心的距离成反比，设比例系数为k，所以v =

代入数据L1=1m， v1=2cm/s得：v =

蚂蚁由A爬到B时，将AB段分成n段，每段长为ΔL =

当n取无限大时，ΔL取无限小，可以认为每段的瞬时速度等于平均速度

在第i段路程，vi =

所以ti == 50ΔL（1+iΔL）

解得t总= Σti = Σ50ΔL（1+iΔL） = 50ΣΔL（1+iΔL）

=

将ΔL = 代入上式，

得t总 =

因为n趋近于无穷大，所以t总 = 75s

第二种解法：图像法，这种方法处理时对学生将物理模型转化成图像的能力有比较高的要求，但是图像法处理问题更加直观、有效，题目的处理也变得简单。

解析：因为蚂蚁的速度与到蚁穴中心的距离成反比，设比例系数为k，所以v =

代入数据L1=1m， v1=2cm/s得：v =

可以看到，L和 成正比，以1/v为纵轴，以L为横轴，作图1：

图中阴影部分的面积即为所求的时间，代入数据：

t总 = S ==s = 75s

图像法易错分析，在利用上述方法处理图像问题时，横纵坐标分别用什么来表示什么物理量非常重要，一定要慎重选择，若此问题按如下步骤解决，我们来看一下：

解析：因为蚂蚁的速度与到蚁穴中心的距离成反比，设比例系数为k，所以v =

代入数据L1=1m， v1=2cm/s得：v =

因为v和成正比，以v为纵轴，以1/L为横轴，作图：

如图2所示，阴影中的面积应为

即= s

解得t = s

我们注意到，同样是图像法，只是横纵坐标发生了变化，结果却不一致，其中一定有错误出现，仔细研究后不难发现，图像法也是利用无限微分的原理来解决问题的，第一个图像中，将AB之间分成无限份之后累加起来，即：L1+L2+L3+……+Ln=L，而在第二个图像中，+++……+≠，即微分法不能成立，也就是说，第二个图像的横纵坐标的表示方法是错误的，所以第二个图像所得的结果是错误的。

无独有偶，我们再来求解这样一个问题，与上述题目非常相似，来看一下：

问题二：

一只蜗牛从地面上开始沿竖直电杆上爬，它上爬的速度与它离地面的高度之间满足的关系是v = ，其中L=20cm，v0=2cm/s，求它上爬20cm所用时间。

这个问题与上面问题的不同之处在于，V与L不再成反比关系，较上个问题解决起来，看似变得更加复杂，我们来看一下它的解法。

第一种解法：微元法：

解析：因为蜗牛的速度是变化的，所以在蜗牛运动中，

v = = ，

dt =

对上两边同时积分得：

T =

将L=20cm，v0=2cm/s，h=20cm代入得

t = 15s

第二种解法：图像法：

解析：因为蜗牛运动时间是由每一小段时间Δt=Δh/v，累加而成，即t=ΣΔh/v，故可以建立1/v-h图：

由v = ，得 =

T =

代入数据得：

t=15s

处理上面问题时，我们可以将v =转化为：= ，可以看到，1/h与v不成反比关系，如果使用作图法来处理上述问题，就会发上如问题一出现的情况，使答案中出现不容易发现错误。

通过以上两个题目的分析可知，在使用作图法解决非匀变速直线运动问题的时候，会使问题变得简单，但是其本质上是用微元法通过面积累加来求解时间，一定要注意，是否可以利用无限微分累加求和的方法来对横坐标进行求和，若不能，则解出来的答案就会发生这种不容易察觉到的错误。

（作者单位：珠海市斗门区第一中学）

责任编校 李平安endprint

微元法是解决高中物理运动学经常用到的方法，很多老师只在推到基础公式时使用微元法，而在具体问题中，并不深入讨论，因此许多学生感觉难以掌握。下面我们通过两道运动学问题，弄清楚利用微元法处理图像问题时的思路，并避免学生们出现由于对微元法的理解不深入而发生的一些错误。

问题一：

蚂蚁离开洞穴沿直线爬行，它的速度与到蚁穴中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距穴中心L1=1m的A点处时，速度是v1=2cm/s.试求蚂蚁继续由A点爬到距穴中心2m的B点需要多长的时间？

第一种解法：微元法，这种方法处理时需要用到等差数列的求和公式，对学生的数学能力提出一定的要求，但是这种解法，能培养学生思维的连续性，使其对问题的理解更加深入。

解析：因为蚂蚁的速度与到蚁穴中心的距离成反比，设比例系数为k，所以v =

代入数据L1=1m， v1=2cm/s得：v =

蚂蚁由A爬到B时，将AB段分成n段，每段长为ΔL =

当n取无限大时，ΔL取无限小，可以认为每段的瞬时速度等于平均速度

在第i段路程，vi =

所以ti == 50ΔL（1+iΔL）

解得t总= Σti = Σ50ΔL（1+iΔL） = 50ΣΔL（1+iΔL）

=

将ΔL = 代入上式，

得t总 =

因为n趋近于无穷大，所以t总 = 75s

第二种解法：图像法，这种方法处理时对学生将物理模型转化成图像的能力有比较高的要求，但是图像法处理问题更加直观、有效，题目的处理也变得简单。

解析：因为蚂蚁的速度与到蚁穴中心的距离成反比，设比例系数为k，所以v =

代入数据L1=1m， v1=2cm/s得：v =

可以看到，L和 成正比，以1/v为纵轴，以L为横轴，作图1：

图中阴影部分的面积即为所求的时间，代入数据：

t总 = S ==s = 75s

图像法易错分析，在利用上述方法处理图像问题时，横纵坐标分别用什么来表示什么物理量非常重要，一定要慎重选择，若此问题按如下步骤解决，我们来看一下：

解析：因为蚂蚁的速度与到蚁穴中心的距离成反比，设比例系数为k，所以v =

代入数据L1=1m， v1=2cm/s得：v =

因为v和成正比，以v为纵轴，以1/L为横轴，作图：

如图2所示，阴影中的面积应为

即= s

解得t = s

我们注意到，同样是图像法，只是横纵坐标发生了变化，结果却不一致，其中一定有错误出现，仔细研究后不难发现，图像法也是利用无限微分的原理来解决问题的，第一个图像中，将AB之间分成无限份之后累加起来，即：L1+L2+L3+……+Ln=L，而在第二个图像中，+++……+≠，即微分法不能成立，也就是说，第二个图像的横纵坐标的表示方法是错误的，所以第二个图像所得的结果是错误的。

无独有偶，我们再来求解这样一个问题，与上述题目非常相似，来看一下：

问题二：

一只蜗牛从地面上开始沿竖直电杆上爬，它上爬的速度与它离地面的高度之间满足的关系是v = ，其中L=20cm，v0=2cm/s，求它上爬20cm所用时间。

这个问题与上面问题的不同之处在于，V与L不再成反比关系，较上个问题解决起来，看似变得更加复杂，我们来看一下它的解法。

第一种解法：微元法：

解析：因为蜗牛的速度是变化的，所以在蜗牛运动中，

v = = ，

dt =

对上两边同时积分得：

T =

将L=20cm，v0=2cm/s，h=20cm代入得

t = 15s

第二种解法：图像法：

解析：因为蜗牛运动时间是由每一小段时间Δt=Δh/v，累加而成，即t=ΣΔh/v，故可以建立1/v-h图：

由v = ，得 =

T =

代入数据得：

t=15s

处理上面问题时，我们可以将v =转化为：= ，可以看到，1/h与v不成反比关系，如果使用作图法来处理上述问题，就会发上如问题一出现的情况，使答案中出现不容易发现错误。

通过以上两个题目的分析可知，在使用作图法解决非匀变速直线运动问题的时候，会使问题变得简单，但是其本质上是用微元法通过面积累加来求解时间，一定要注意，是否可以利用无限微分累加求和的方法来对横坐标进行求和，若不能，则解出来的答案就会发生这种不容易察觉到的错误。

（作者单位：珠海市斗门区第一中学）

责任编校 李平安endprint