高考数列命题热点探析

许少华

纵观近三年广东高考数学试卷，无论文科还是理科，对于数列内容的考查相对比较稳定，试题一大一小，分数为19分.试题内容也比较相似，小题都是考查等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，此题的难度很小，百分之八十以上的考生都能顺利得分.大题都与递推关系或通项an与前n项和Sn的关系有关，然后考查求具体的项与通项公式，最后都是与不等式有关的证明问题，且在证明过程中又都无一例外的用到裂项与放缩技巧.2014年呢？由于高考命题要求在稳定中创新、在中改革，于是，我们预测其命题热点有以下几个方面，供参考.

热点一：客观题仍考查等差、等比数列的基础知识与简单的常用技能

例1. 设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则（ ）

A. Sn=2an-1 B. Sn=3an-2

C. Sn=4-3an D. Sn=3-2an

解析一 在等比数列{an}中，Sn===3-2an，选D.

解析二 在等比数列{an}中，a1=1，q=an=（）n-1.

于是，Sn==3[1-（）n]=3[1-×（）n-1]=3-2an

点评 等差、等比数列的基础知识与简单的常用技能是处理数列问题的思维起点，也是数列中应用数学思想方法的入手点，因此，在各级各类的考试中对这些内容的考查作为检查高中生对基础知识的普遍掌握情况十分有利.

热点二：客观题转变考查方向，建立在数列基础知识与基本技能的基础上考查分析与推理能力

例2. 已知数列{an}的通项为an=（）n-1[（）n-1-1]，下列表述正确的是（ ）

A. 最大项为0，最小项为-

B. 最大项为0，最小项不存在

C. 最大项不存在，最小项为-

D. 最大项为0，最小项为a4

解析 （1）由an=（）n-1[（）n-1-1]，得a1=0.

∵当n>1时，0<（）n-1<1，

∴an最大项为a1=0.

又an+1-an=（）n[（）n-1]-（）n-1[（）n-1-1]=（）n-1×

，显然，当n≥3时，an+1-an>0；当n<3时，an+1-an<0.

于是， 最小项为a3=-，故选A.

点评 从函数角度来认识本题最有利于求解，函数的最值往往与单调性有关，那么数列的最值呢？也与数列的单调性有关，于是，借助数列的单调性最终产生结论.

例3. 数列{an}满足an+1+（-1）nan=2n-1，则{an}的前60项和为_______.

解析一 由题设知，a2-a1=1…①；a3+a2=3…②；a4-a3=5…③；a5+a4=7…④；a5+a4=7，a6-a5=9，a7+a6=11，a8-a7=13，a9+a8=15，a10-a9=17，a11+a10=19，a12-a11=21，......

∴②-①得a1+a3=2，③+②得a4+a2=8，

同理可得a5+a7=2，a6+a8=24，a9+a11=2，a10+a12=40，…，

∴a1+a3，a5+a7，a9+a11，…，是各项均为2的常数列，

a2+a4，a6+a8，a10+a12，…是首项为8，公差为16的等差数列，

则{an}的前60项和为15×2+15×8+×16×15×14=1830.

解析二 由an+1+（-1）nan=2n-1a4n+2-a4n+1=8n+1，a4n+3+a4n+2=8n+3，a4n+4-a4n+3=8n+5 a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=16n+8，

令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，

则bn+1=bn+16，又b1=a1+a2+a3+a4=10S15=10×15+×16=1830.

则{an}的前60项和为1830.

点评 本题无论是方法一还是方法二，在规定的时间内都不太好想，说它很难吧，不是；说它不难吧，显然也不准确.反复应用递推关系是求解的关键.

热点三：解答题延续去年的热点，继续建立在an与sn关系的基础上考查通项公式的求法及放缩法证明不等式

例4. 数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=，Sn=n2an-n（n-1），n=1，2，…

（1）写出Sn与Sn-1的递推关系式（n≥2），并求Sn关于n的表达式；

（2）设fn（x）=xn+1，bn=（p）（p∈R），求数列{bn}的前n项和Tn；

（3）求证：++…+>.

解析 （1）由于n≥2时，an=Sn-Sn-1，那么Sn=n2（Sn-Sn-1）-n（n-1），则-=1，

因此=+（-）+…+（-）=n.

于是Sn=.

（2）由fn（x）=xn+1，得fn（x）=xn+1，

那么=nxn，于是bn=npn，

得数列{bn}的前n项和Tn=p+2p2+3p3+…+npn.

10若p=0时，则Tn=0；

20若p=1时，则Tn=1+2+3+…+n=；

30若p≠0且p≠1时，则pTn=p2+2p3+3p4+…+npn+1，则（1-p）Tn=p+p2+p3+…+pn-npn+1=-npn+1，得Tn=-.

（3）由（1）得Sn=

于是S1+S2+…+Sk<1+2+…+k=>=2（-），

那么++…+>2[（1-）+（-）+…+（-）]=.

点评 本题延续去年的热点，继续考查与Sn有关的递推式.值得一提的是：广东的高考命题有延续往年热点的“习惯”，看看近年的三角试题（解答题的第一题），连续四年的命题，从形式到内容都非常接近.再看2012年高考数列题与2013年高考数列题是多么接近啊！再延续一年完全有可能.

热点四：解答题降低难度，考查等差、等比数列基本运算与基本技能

例5. 64个正数排成8行8列，如右图所示：其中aij表示第i行第j列的数.已知每一行中的数依次都成等差数列；每一列中的数依次都成等比数列，且公比均为q∶a11=，a24=1，a21=.

（1）求a12和a13的值；

（2）记第n行各项之和为An（n∈N且1≤n≤8），数列{an}，{bn}，{cn}满足an=，mbn+1=2（an+mbn）（m为非零常数），cn=，且c21+c27=100，求c1+c2+…+c7的取值范围；

（3）对（2）中an，记dn=（n∈N），设Bn=d1d2…dn（n∈N），求数列{Bn}中最大项的项数.

解析 （Ⅰ）因为q==，所以a14==2.又a11，a12，a13，a14成等差数列，公差设d，由a14=a11+3dd=，所以a12=1，a13=.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，第一行所成等差数列公差为，所以a18=4.

因为an1=a11·（）n-1=（）n，an8=a18·（）n-1=4×（）n-1=8×（）n.

所以An=×8=36×（）n，所以an=2n（1≤n≤8，n∈N）.

因为mbn+1=2（an+mbn），所以mbn+1=2n+1+2mbn.

整理得-=.而cn=，所以cn+1-cn=，得{cn}是等差数列.

故c1+c2+…+c7=.

因为≠0，所以c1≠c7，所以2c1c7

得（c1+c7）2=c21+c27+2c1c7<2（c21+c27）=200，

即-10

（Ⅲ）因为dn=200×（）n是一个正项递减数列，所以当dn≥1时，Bn≥Bn-1，当dn<1时，Bn1）.

于是{Bn}，中最大项满足dn≥1，dn+1<1，即200×（）n≥1，200×（）n+1<1.

解得6+log

所以n=7，即{Bn}中最大项的项数为7.

点评 本题共三问，看看第一问是等差数列与等比数列的基础知识问题，没有什么难度.第二问呢？虽然看上去绕了很多弯，但只要你认清每一步涉及的基础知识与基本技能，也会顺利完成.第三问呢？无论是分析还是求解，都在常规之列，也不算难.但当这三问合在一起时，再说此题是简单题恐怕就没有人同意了.本题很全面，你再仔细看看，它涉及的知识点有多少个？方法与技能又有多少个？这样你就明白了，表面上看是降低了难度，考查也转向基础了，但因全面而使试题显得更有区分度.

热点五：解答题真正在递推数列上作文章，从求解递推式必备的基本技能入手，考查通项公式、求和及不等式的证明

例6. 设>2，给定数列{an}，其中x1=，xn+1=，求证：

（1）若yn=lg，则数列{yn}是等比数列；

（2）若>3，则当n≥lg/lg时，xn<3；

（3）若<3，那么xn≤2+.

解析 （1）由xn+1=xn+1-2=xn+1==（）2，由于>2，易得>0，于是lg=2lgyn+1=2yn.

故数列{yn}是等比数列.

（2）由==（1+），得xk>3时，<<1即xk+1

假设>3，当n≥lg/lg时，有xn+1≥3.

由x1>x2>…>xn>xn+1≥3及x1=，得3≤xn+1=x1·（）·…·（）<（）nn

故当n≥lg/lg时，xn<3.

（3）由（1）得=（）2=（）xn=2+.

∵>2>1（）>1，又由（1+x）n=1+x+x2+…≥1+nx，

得（）=（1+）≥1+（）·2n-1≥1+2nxn=2+≤2+.

点评 本题的第一问考查递推公式的变形技巧及等比数列的判定，显然，有难度.第二问考查反证法与放缩法的综合应用，其间用恒等式的构造，有难度也有灵活性.第三问在第一问的基础上，再多次使用放缩法，最终产生结论，寥寥几笔，数学味极浓.

热点六：解答题建立在分析、探索、发现的基础上考查考生分析问题与解决问题的能力

例7. 已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，且an+2=（2+cosn）（an-1）+3，n∈N.

（1）求通项公式an；

（2）设{an}的前n项和为Sn，问：是否存在正整数m，n使得S2n=mS2n-1？若存在，请求出所有的符合条件的正整数对（m，n），若不存在，请说明理由.

解析 （1）当n是奇数时，cosn=-1；当n是偶数时，cosn=1.

所以，当n是奇数时，an+2=an+2；当n是偶数时，an+2=3an.

又a1=1，a2=2，所以a1，a3，a5，…，a2n-1，…是首项为1，公差为2的等差数列；a2，a4，a6，…，a2n，…是首项为2，公比为3的等比数列.

所以，ann，n为奇数2×3.n为偶数

（2）由（1），得S2n=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n）=[1+3+…+（2n-1）]+（2+6+…+2×3n-1）=3n+n2-1，S2n-1=S2n-a2n=3n+n2-1-2×3n-1=3n-1+n2-1.

所以，若存在正整数m、n，使得S2n=mS2n-1，

则m===1+≤1+=3.

显然，当m=1时，S2n=3n+n2-1≠1×（3n-1+n2-1）=S2n-1；

当m=2时，由S2n=2S2n-1，整理得3n-1=n2-1.

显然，当n=1时，31-1=1≠0=12-1；当n=2时，32-1=3=22-1，所以（2，2）是符合条件的一个解.

当n≥3时，3n-1=（1+2）n-1=1+×2+×22+…≥1+2+4=2n2-4n+3=（n-2）2+n2-1>n2-1.

当m=3时，由S2n=3S2n-1，整理得n=1，

所以（3，1）是符合条件的另一个解.

综上所述，所有的符合条件的正整数对（m，n），有且仅有（3，1）和（2，2）两对.

点评 本题建立在分析、探索、发现的基础上，考查考生分析问题与解决问题的能力很到位.首先通项公式，要借助分类思想来完成.其次，要“锁定”m的范围，这个看似简单的步骤，其实愠含多种基本方法（合理处理分式、放缩等），这些方法有一种不过关就很难产生结论.

热点七：解答题建立在交汇考查的基础上，设计与其它知识结合的“多功能”试题

例8. 在直角坐标平面上有一点列P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）…，对一切正整数n，点Pn位于函数y=3x+的图像上，且Pn的横坐标构成以-为首项，-1为公差的等差数列{xn}.

（1）求点Pn的坐标；

（2）设抛物线列c1，c2，c3，…，cn，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线cn的顶点为Pn，且过点Dn（0，n2+1），记与抛物线cn相切于Dn的直线的斜率为kn，求++…+；

（3）设S={x|x=2xn，n∈N}，T={y|y=4yn，n∈N}，等差数列{an}的任一项an∈S∩T，其中a1是S∩T中的最大数，-265

解析 （1）xn=-+（n-1）×（-1）=-n-，∴yn=3xn+=-3n-，∴Pn=（-n-，-3n-）.

（2）∵cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn，

∴设cn的方程为：y=a（x+）2-，

把Dn（0，n2+1）代人上式，得a=1，

∴设cn的方程为：y=x2+（2n+3）x+n2+1，y′=2x+2n+3.

当x=0时，kn=2n+3，

∴==（-），

∴++…+=[（-）+（-）+…+（-）]=（-）=-.

（3）S={x|x=-（2n+3），n∈N，n≥1}，

T={y|y=-（12n+5），n∈N，n≥1}={y|y=-2（6n+1）-3，n∈N，

n≥1}，

∴S∩T=T，T中最大数a1=-17.

设{an}的公差为d，则a10=-17+9d∈（-265，-125），由此得，-

又∵an∈T，∴d=-12m（m∈N），

∴d=-24，∴an=7-24n（n∈N）.

点评 本题与函数、圆锥曲线、导数等都联系上，虽然它们不起决定性作用，但用到时还是必须熟悉的.否则，对求解还是会存在很大威胁的.实际上，数列在日常生活中广为应用，如增长率问题、银行存款利率问题、贷款问题等.另外，有些实际问题，可转化为数列问题，它们表面上看可能是解方程或是不等式问题.

热点八：解答题建立在新定义的基础上考查创新知识的应用

例9. 如果由数列{an}生成的数列{bn}满足对任意的n∈N均有bn+1

（Ⅰ）在数列{an}中，已知an=-n2，试判断数列{an}是否为“Z数列”；

（Ⅱ）若数列{an}是“Z数列”，a1=0，bn=-n，求an；

（Ⅲ）若数列{an}是“Z数列”，设s，t，m∈N，且s

解析 （Ⅰ）因为an=-n2，所以bn=an+1-an=-（n+1）2+n2=-2n-1，n∈N，

所以bn+1-bn=-2（n+1）-1+2n+1=-2，

所以bn+1

（Ⅱ）因为bn=-n，

所以a2-a1=b1=-1，a3-a2=b2=-2，…，an-an-1=bn-1=-（n-1），

所以an-a1=-1-2-…-（n-1）=-（n≥2），所以an=-（n≥2），又a1=0，所以an=-（n∈N）.

（Ⅲ）因为as+m-as=（as+m-as+m-1）+…+（as+1-as）=bs+m-1+…+bs，

at+m-at=（at+m-at+m-1）+…+（at+1-at）=bt+m-1+…+bt，

又s，t，m∈N，且sbt+i，n∈N，

所以bs+m-1>bt+m-1，bs+m-2>bt+m-2，…，bs>bt，

所以at+m-at

关于数列的命题我们就谈这么多，真正的试题到底是什么样的题呢？我们期待与这里说的热点一致.

（作者单位：中山一中）

责任编校 徐国坚

所以，若存在正整数m、n，使得S2n=mS2n-1，

则m===1+≤1+=3.

显然，当m=1时，S2n=3n+n2-1≠1×（3n-1+n2-1）=S2n-1；

当m=2时，由S2n=2S2n-1，整理得3n-1=n2-1.

显然，当n=1时，31-1=1≠0=12-1；当n=2时，32-1=3=22-1，所以（2，2）是符合条件的一个解.

当n≥3时，3n-1=（1+2）n-1=1+×2+×22+…≥1+2+4=2n2-4n+3=（n-2）2+n2-1>n2-1.

当m=3时，由S2n=3S2n-1，整理得n=1，

所以（3，1）是符合条件的另一个解.

综上所述，所有的符合条件的正整数对（m，n），有且仅有（3，1）和（2，2）两对.

点评 本题建立在分析、探索、发现的基础上，考查考生分析问题与解决问题的能力很到位.首先通项公式，要借助分类思想来完成.其次，要“锁定”m的范围，这个看似简单的步骤，其实愠含多种基本方法（合理处理分式、放缩等），这些方法有一种不过关就很难产生结论.

热点七：解答题建立在交汇考查的基础上，设计与其它知识结合的“多功能”试题

例8. 在直角坐标平面上有一点列P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）…，对一切正整数n，点Pn位于函数y=3x+的图像上，且Pn的横坐标构成以-为首项，-1为公差的等差数列{xn}.

（1）求点Pn的坐标；

（2）设抛物线列c1，c2，c3，…，cn，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线cn的顶点为Pn，且过点Dn（0，n2+1），记与抛物线cn相切于Dn的直线的斜率为kn，求++…+；

（3）设S={x|x=2xn，n∈N}，T={y|y=4yn，n∈N}，等差数列{an}的任一项an∈S∩T，其中a1是S∩T中的最大数，-265

解析 （1）xn=-+（n-1）×（-1）=-n-，∴yn=3xn+=-3n-，∴Pn=（-n-，-3n-）.

（2）∵cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn，

∴设cn的方程为：y=a（x+）2-，

把Dn（0，n2+1）代人上式，得a=1，

∴设cn的方程为：y=x2+（2n+3）x+n2+1，y′=2x+2n+3.

当x=0时，kn=2n+3，

∴==（-），

∴++…+=[（-）+（-）+…+（-）]=（-）=-.

（3）S={x|x=-（2n+3），n∈N，n≥1}，

T={y|y=-（12n+5），n∈N，n≥1}={y|y=-2（6n+1）-3，n∈N，

n≥1}，

∴S∩T=T，T中最大数a1=-17.

设{an}的公差为d，则a10=-17+9d∈（-265，-125），由此得，-

又∵an∈T，∴d=-12m（m∈N），

∴d=-24，∴an=7-24n（n∈N）.

点评 本题与函数、圆锥曲线、导数等都联系上，虽然它们不起决定性作用，但用到时还是必须熟悉的.否则，对求解还是会存在很大威胁的.实际上，数列在日常生活中广为应用，如增长率问题、银行存款利率问题、贷款问题等.另外，有些实际问题，可转化为数列问题，它们表面上看可能是解方程或是不等式问题.

热点八：解答题建立在新定义的基础上考查创新知识的应用

例9. 如果由数列{an}生成的数列{bn}满足对任意的n∈N均有bn+1

（Ⅰ）在数列{an}中，已知an=-n2，试判断数列{an}是否为“Z数列”；

（Ⅱ）若数列{an}是“Z数列”，a1=0，bn=-n，求an；

（Ⅲ）若数列{an}是“Z数列”，设s，t，m∈N，且s

解析 （Ⅰ）因为an=-n2，所以bn=an+1-an=-（n+1）2+n2=-2n-1，n∈N，

所以bn+1-bn=-2（n+1）-1+2n+1=-2，

所以bn+1

（Ⅱ）因为bn=-n，

所以a2-a1=b1=-1，a3-a2=b2=-2，…，an-an-1=bn-1=-（n-1），

所以an-a1=-1-2-…-（n-1）=-（n≥2），所以an=-（n≥2），又a1=0，所以an=-（n∈N）.

（Ⅲ）因为as+m-as=（as+m-as+m-1）+…+（as+1-as）=bs+m-1+…+bs，

at+m-at=（at+m-at+m-1）+…+（at+1-at）=bt+m-1+…+bt，

又s，t，m∈N，且sbt+i，n∈N，

所以bs+m-1>bt+m-1，bs+m-2>bt+m-2，…，bs>bt，

所以at+m-at

关于数列的命题我们就谈这么多，真正的试题到底是什么样的题呢？我们期待与这里说的热点一致.

（作者单位：中山一中）

责任编校 徐国坚

所以，若存在正整数m、n，使得S2n=mS2n-1，

则m===1+≤1+=3.

显然，当m=1时，S2n=3n+n2-1≠1×（3n-1+n2-1）=S2n-1；

当m=2时，由S2n=2S2n-1，整理得3n-1=n2-1.

显然，当n=1时，31-1=1≠0=12-1；当n=2时，32-1=3=22-1，所以（2，2）是符合条件的一个解.

当n≥3时，3n-1=（1+2）n-1=1+×2+×22+…≥1+2+4=2n2-4n+3=（n-2）2+n2-1>n2-1.

当m=3时，由S2n=3S2n-1，整理得n=1，

所以（3，1）是符合条件的另一个解.

综上所述，所有的符合条件的正整数对（m，n），有且仅有（3，1）和（2，2）两对.

点评 本题建立在分析、探索、发现的基础上，考查考生分析问题与解决问题的能力很到位.首先通项公式，要借助分类思想来完成.其次，要“锁定”m的范围，这个看似简单的步骤，其实愠含多种基本方法（合理处理分式、放缩等），这些方法有一种不过关就很难产生结论.

热点七：解答题建立在交汇考查的基础上，设计与其它知识结合的“多功能”试题

例8. 在直角坐标平面上有一点列P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）…，对一切正整数n，点Pn位于函数y=3x+的图像上，且Pn的横坐标构成以-为首项，-1为公差的等差数列{xn}.

（1）求点Pn的坐标；

（2）设抛物线列c1，c2，c3，…，cn，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线cn的顶点为Pn，且过点Dn（0，n2+1），记与抛物线cn相切于Dn的直线的斜率为kn，求++…+；

（3）设S={x|x=2xn，n∈N}，T={y|y=4yn，n∈N}，等差数列{an}的任一项an∈S∩T，其中a1是S∩T中的最大数，-265

解析 （1）xn=-+（n-1）×（-1）=-n-，∴yn=3xn+=-3n-，∴Pn=（-n-，-3n-）.

（2）∵cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn，

∴设cn的方程为：y=a（x+）2-，

把Dn（0，n2+1）代人上式，得a=1，

∴设cn的方程为：y=x2+（2n+3）x+n2+1，y′=2x+2n+3.

当x=0时，kn=2n+3，

∴==（-），

∴++…+=[（-）+（-）+…+（-）]=（-）=-.

（3）S={x|x=-（2n+3），n∈N，n≥1}，

T={y|y=-（12n+5），n∈N，n≥1}={y|y=-2（6n+1）-3，n∈N，

n≥1}，

∴S∩T=T，T中最大数a1=-17.

设{an}的公差为d，则a10=-17+9d∈（-265，-125），由此得，-

又∵an∈T，∴d=-12m（m∈N），

∴d=-24，∴an=7-24n（n∈N）.

点评 本题与函数、圆锥曲线、导数等都联系上，虽然它们不起决定性作用，但用到时还是必须熟悉的.否则，对求解还是会存在很大威胁的.实际上，数列在日常生活中广为应用，如增长率问题、银行存款利率问题、贷款问题等.另外，有些实际问题，可转化为数列问题，它们表面上看可能是解方程或是不等式问题.

热点八：解答题建立在新定义的基础上考查创新知识的应用

例9. 如果由数列{an}生成的数列{bn}满足对任意的n∈N均有bn+1

（Ⅰ）在数列{an}中，已知an=-n2，试判断数列{an}是否为“Z数列”；

（Ⅱ）若数列{an}是“Z数列”，a1=0，bn=-n，求an；

（Ⅲ）若数列{an}是“Z数列”，设s，t，m∈N，且s

解析 （Ⅰ）因为an=-n2，所以bn=an+1-an=-（n+1）2+n2=-2n-1，n∈N，

所以bn+1-bn=-2（n+1）-1+2n+1=-2，

所以bn+1

（Ⅱ）因为bn=-n，

所以a2-a1=b1=-1，a3-a2=b2=-2，…，an-an-1=bn-1=-（n-1），

所以an-a1=-1-2-…-（n-1）=-（n≥2），所以an=-（n≥2），又a1=0，所以an=-（n∈N）.

（Ⅲ）因为as+m-as=（as+m-as+m-1）+…+（as+1-as）=bs+m-1+…+bs，

at+m-at=（at+m-at+m-1）+…+（at+1-at）=bt+m-1+…+bt，

又s，t，m∈N，且sbt+i，n∈N，

所以bs+m-1>bt+m-1，bs+m-2>bt+m-2，…，bs>bt，

所以at+m-at

关于数列的命题我们就谈这么多，真正的试题到底是什么样的题呢？我们期待与这里说的热点一致.

（作者单位：中山一中）

责任编校 徐国坚