模糊WINGS视角下的ANP加权矩阵新构造方法

孙永河，李春好，谢晖，段万春

SUN Yonghe1,LI Chunhao2,XIE Hui1,DUAN Wanchun1

1.昆明理工大学管理与经济学院，昆明650093

2.吉林大学管理学院，长春130025

1.Faculty of Management and Economics,Kunming University of Science and Technology,Kunming 650093,China

2.School of Management,Jilin University,Changchun 130025,China

1 引言

网络分析法（Analytic Network Process，ANP）是美国匹兹堡大学著名运筹学家Saaty教授于1996年正式提出的一种处理复杂社会经济系统问题的方法[1]，该方法因其声称能够反映系统因素之间的依存（依赖）关系而倍受学术界相关学者的关注和重视，近年来在信息融合、项目规划、军事决策等诸多领域得到了大量应用[2]。与AHP不同，ANP在分析复杂系统问题时采用了反映系统因素非线性作用机理关系的“超矩阵”核心理念，因此如何科学有效地构造出实际系统的加权超矩阵（列随机超矩阵）便成为ANP分析方法的关键所在。然而，在未加权超矩阵向加权超矩阵转化过程中，一个必要环节即是构造因素集加权矩阵，事实上虽然人们在实践运用中已认识到这类加权矩阵是难以构造的[3]，但难以构造的瓶颈问题在何处？迄今学术界不仅没有较为系统的机理阐述，而且也尚未找到一种有较强指导意义的构造方法。因此，为探索解决这一有较强学术价值和实践意义的研究命题，下文在系统梳理已有ANP因素集加权矩阵构造方法及其缺陷分析的基础上，从复杂系统非线性思维出发，给出一种ANP因素集加权矩阵新构造方法。

2 已有ANP因素集加权矩阵构造方法及其缺陷分析

从收集到的相关文献看，目前关于因素集加权矩阵的构造有两两比较法、等权假设法以及基于DEMATEL（Decision Making Trial and Evaluation Laboratory）的构造方法，参见表1。

表1 现有ANP因素集加权矩阵构造方法及代表性文献

下面分别针对上述三种方法原理及其存在的缺陷予以系统分析。

2.1 传统两两比较法及其缺陷分析

若设某复杂系统中有N个因素集Q1，Q2，…，QN，且设第l个因素集内部因素分别为nl1，nl2，…，nl，hl(l=1，2，…，N)，则反映这些因素相互作用关系的ANP超矩阵M如下所示。

定理1构造ANP因素集之间的加权矩阵的充分必要条件是系统内部某因素集（方案集除外）内部依存关系或方案集内部依存且存在方案集对其他因素集的循环支配关系，或者是至少有两个因素集对某因素集存在循环支配关系。

证明按Saaty教授的分类方法，ANP系统有五种典型的网络结构，即内部独立递阶系统（即AHP层次结构系统）、内部独立循环系统、内部依存递阶系统、内部依存循环系统以及一般的系统结构。分析这五种典型ANP结构及其相应超矩阵的特征分布[13]，易知当且仅当上述三种条件之一出现时，ANP系统超矩阵M为非列随机矩阵，即此时需要构造因素集之间的加权矩阵，从而上述命题得证。

从定理1可知，当上述任意一个条件满足的情境下，需要分别以各因素集为比较基准，依据两两比较的方式构造因素集Q1，Q2，…，QN之间的专家判断矩阵，并由这些矩阵计算出相应的归一化特征向量(d1n，d2n，…，dNn)T，n=1，2，…，N，由这些列向量按下式组合成加权矩阵D。即

分析上述判断过程可知，式（1）的构造过程存在专家比较判断机理混乱的内在缺陷。例如，若令Q′1=Q1，并设Q1，Q2，…，QN对Q′1的绝对重要性为α1，α2，…，αN，则以Q1（也就是Q′1）为控制标准得出下面的比较矩阵B(1)。

从B(1)来看，Q1，Q2，…，QN对Q′1的相对重要性分别为α1/α1，α2/α1，…，αN/α1。因为Q′1=Q1，所以Q1对Q′1的绝对重要性α1实际上就是Q1对Q1的绝对重要性；而Q1对Q1的绝对重要性，由于其中已有比较的含义，因此也是Q1对Q1的相对重要性，进而可知α1=α1/α1=1。由上述两方面事实可推知，B(1)=B(2)。分析矩阵B(2)可以看出，其第一列元素从数值上看均是Q1，Q2，…，QN对Q′1的绝对重要性，而第一行最后一个元素1/αN反映的却是以Q′1（即Q1）作为控制标准下Q1对QN的相对重要性。这样在矩阵B(2)（或B(1)）中，既有相对重要性比较的元素，又有绝对重要性比较的元素，由此可见比较机理是混乱的。

2.2 等权假设构造法

定义1待比较因素集权重均等值的加权矩阵称为等权矩阵。

等权假设构造法是指在构造系统因素集之间的加权矩阵时，不经任何统计分析和结果验证直接假定该加权矩阵为等权矩阵。

从已有文献看，人们对等权假设构造矩阵的认识存在两方面缺陷。一种观点认为传统ANP构造加权矩阵的方法本质上是采用等权假设法[10，12]，由2.1节论证易知，这显然属于方法机理认知错误问题。另一种观点认为，等权假设构造法不合理之处在于采用它作为数值计算基础可能导致方案极限权重比实际情景偏高或偏低[11]。事实上，这种认识表面上似乎合理，但其实质是一种“想当然”的非理性推断，缺乏科学严密性论证。事实上，各方案极限权重的变化规律是否与加权矩阵因素集权重的变化规律呈现单调递增或递减关系或更为一般的非线性作用机理关系，需要针对不同系统予以具体分析，不能凭主观臆断一概而论。此外，鉴于人们对实际复杂情境难以有效认知，因此与实际情境相比偏高或偏低也无任何实践意义。从复杂问题科学决策视角看，人们往往关心的是加权矩阵的变化是否会对方案优劣排序产生影响，由下述定理2可知，仅当“加权矩阵满足名义矩阵”这一苛刻条件满足时，等权矩阵假设才是合理的。

定义2若加权矩阵D中dij数值变化（显然∀j∈(1，2，…，N)）对其相应的系统极限矩阵（即加权超矩阵的极限矩阵或平均极限矩阵）方案排序无影响，则称加权矩阵D为名义矩阵。

定理2等权假设构造法有效的充要条件是加权矩阵D为名义矩阵。

由定义1和定义2容易证明该定理成立。

分析定理2可知，只有D为名义矩阵时，采用等权假设构造法才是可行的，但由于这一条件极为苛刻，因此在实际绝大多数情况下等权假设构造法是无效的，从而可知等权假设构造法是武断的、且极有可能导致错误的评价结果。

2.3 基于DEMATEL的构造方法

近年来，台湾学者将DEMATEL与ANP以及其他方法（如TOPSIS等）相融合，创新出一系列的相关学术成果，并给出如下基于DEMATEL构造加权矩阵的方法步骤[10-12]。

步骤1按规范的DEMATEL方法构造因素集Q1，Q2，…，QN之间的综合影响矩阵W=[wij]N×N。首先，请专家按五级标度（即采用0、1、2、3、4五级标度，它们分别表示“无影响”“、影响极小”“影响较小”“、影响较大”“、影响极大”）进行Q1，Q2，…，QN之间直接影响强度的判别，构造出相应的直接影响矩阵。然后，按DEMATEL规则将该矩阵进行标准化，得出矩阵X。最后，令W=X(I-X)-1（其中I为N阶单位阵），计算出综合影响矩阵W。

步骤2令将综合影响矩阵按下式算法进一步规范化处理，从而可以求出矩阵Wg。

步骤3基于Wg构造加权矩阵W″，其表达式为：

分析上述步骤可知，基于DEMATEL的构造方法存在如下不足。其一，由于各因素集内部包括一系列因素，这些因素之间通过相互作用、相互影响可能呈现复杂的因素集状态，因此人们对系统因素集整体行为的把握是极为有限的[14-15]。在此情境下，专家对因素集之间直接影响关系的点估计判断难以反映判断过程中存在的较强不精确性。其二，传统DEMATEL忽视系统因素集自我影响关系（即因素集自身对自身的影响）[16]，从而使得步骤3导出的加权矩阵与实际情景不符。与Michnik[16]的观点类似，本文认为系统因素（集）G在系统中的总体地位与作用，通常由三种力量共同决定（参见图1），即G对其他因素（集）的影响力F1，其他因素（集）对G的影响力F2，以及G本身的自我影响力F0（该种影响力在系统远离平衡态时发挥的作用尤其突出）。

图1 因素(集)在系统中的地位与作用

3 ANP因素集加权矩阵构造新方法

3.1 方法构建的理论基础

3.1.1 WINGS

WINGS（Weighted Influence Non-linear Gauge Sys-tem）是波兰学者Michnik最近提出的一种系统分析方法，其本质是一种改进的DEMATEL方法（即考虑了因素自我影响关系的DEMATEL），其创新之处在于从数学机理上实现了自我影响强度判断信息与因素之间影响强度判断信息的有机融合。遗憾的是，文献[16]在技术实现时一方面存在诸多小错误（例如：将(I-B)-1误认为是1/(I-B)，其中B为某系统的综合影响矩阵），另一方面，尚未考虑专家在因素之间影响判断过程中存在的不精确性。

3.1.2 模糊DELPHI

DELPHI方法最先是由Dalkey/Helmer提出的一种基于群组专家（最多不超过20位专家）分析判断处理复杂问题的方法[17]，它通过对专家的匿名调研，将多位专家得出的结果统计分析后再反馈回各专家，经过反复多轮征询专家意见，以使决策结果趋于一致。但人们在实践中发现，传统DELPHI方法专家意见有时难以协调，因此Murry等学者之后又开发出模糊DELPHI方法，但是常规的模糊DELPHI方法一次性将各专家的模糊判断结果予以综合集成，不需要进行多轮次征询专家意见，显然这样失去了DELPHI方法的精华之处。鉴于上述问题，本文认为，既要降低调研成本，又要保证专家判断结果的相对准确，拟对专家进行两轮意见征询，具体分析过程参见图2。

图2 改进后的模糊DELPHI决策分析过程

需要强调指出，充分考虑专家在主观判断过程中存在的不精确性，图2中专家对实际问题的判断结果均采用如下定义给出的模糊数形式予以表达。

定义3[18]若记模糊数b～=(bL，bM，BU)，其中0＜bL≤bM≤BU，则称b～为三角模糊数，其隶属函数参见式（4）。

3.2 具体的方法步骤

基于前述理论认识，下面仍以因素集Q1，Q2，…，QN为例，给出模糊WINGS视角下的ANP因素集加权矩阵新构造方法的具体实现步骤。

步骤1邀请专家采用表2给出的模糊语言标度值按照图2的决策过程进行判断，构造Q1，Q2，…，QN的模糊DEMATEL直接影响矩阵Hk。式（5）中，反映的是第k位专家给出的因素集i对因素集j的影响强度，记为定义3所示的三角模糊数，即=(，)，k=1，2，…，K，K为群组专家数。

表2 模糊语言标度[18]

步骤2将式（5）解模糊化，得出集成群组专家意见的直接影响矩阵V。

解模糊化的操作程序如下[18-19]：

（1）初始数据归一化。

（2）左右边界值(ls，rs)归一化。

（3）计算总的归一化点估计值。

（4）求解专家k的点估计值，参见下式。

（5）计算群组专家点估计的均值。

通过上述过程，可形成矩阵V，其表达式如下：

步骤3请专家按3.1.2节给出的模糊DELPHI方法对因素集Q1，Q2，…，QN的自我影响关系进行模糊判断，然后采用与上一步相同的解模糊程序，最后得出Q1，Q2，…，QN的自我影响强度，记为v11，…，vNN，其矩阵表达式为：

步骤4联立式（14）和式（15），形成集成影响矩阵V″。其中，V″=V+V1。即

步骤5对矩阵V″进行规范化[16]，得出规范化矩阵V″G。其表达式为：

步骤6按下式计算Q1，Q2，…，QN之间的综合影响矩阵Z。

步骤7令，将综合影响矩阵Z按下式进一步规范化为矩阵Z1。

步骤8基于下式构造加权矩阵Z2。

4 实例对比验证

某大学信息管理系2013年招聘青年教师，主要从科研能力与潜质(c1)、教学能力(c2)两个评价准则对三位应聘者（记为a1，a2，a3）进行考核，按照ANP理论，则上述问题实质由一个准则集CC（包括c1，c2）和一个AC方案集（包括a1，a2，a3）所组成，且两个元素集内部均相互依存，CC、AC存在循环支配关系，从而形成如图3所示的ANP两层网络结构。

图3 某青年教师招聘问题的ANP网络结构

按照ANP方法，请专家进行因素之间的两两比较判断，给出如下反映上述实例问题的未加权超矩阵M1。

由于M1是非列随机矩阵，因此需要构造CC、AC之间的加权矩阵。

首先，请5位专家按本文所提方法构造因素集之间的初始模糊直接影响矩阵。5位专家判断出的具体数据如下：然后，基于上述信息得出综合五位专家意见的集成影响矩阵为：

依据公式（17）～（20），基于上述信息即可构造因素集CC、AC之间的加权矩阵：

接着，联立M1和Z2，按ANP方法规定构造出如表3所示的加权超矩阵W0。最后，进一步计算出极限超矩阵，详见表4。

另外，依据M1和等权假设构造法可求出如表5、表6所示的加权超矩阵W1和极限超矩阵。

表3 加权超矩阵W0

表4 极限超矩阵

表4 极限超矩阵

c1c2a1a2a3 c1 c2a1 a2 a3 0.226 0.183 0.203 0.201 0.186 0.226 0.183 0.203 0.201 0.186 0.226 0.183 0.203 0.201 0.186 0.226 0.183 0.203 0.201 0.186 0.226 0.183 0.203 0.201 0.186

表5 加权超矩阵W1

表6 极限超矩阵

表6 极限超矩阵

c1c2a1a2a3 c1 c2a1 a2 a3 0.277 0.223 0.168 0.174 0.158 0.277 0.223 0.168 0.174 0.158 0.277 0.223 0.168 0.174 0.158 0.277 0.223 0.168 0.174 0.158 0.277 0.223 0.168 0.174 0.158

图4 系统因素的极限权重

为进一步验证所提方法的优越性，下文结合已有的V″k(k=1,2,…，5)数据信息，依据不同语言偏好判断信息标度之间的转化关系，可推出基于WINGS和DEMATEL构造方法的专家初始判断信息，具体参见表7。

表7 基于WINGS和DEMATEL加权矩阵构造方法的专家初始判断信息

首先，基于表7给出的数据信息，按WINGS和DEMATEL方法将上述专家信息进行集成，分别得出如下反映CC、AC之间直接影响关系的集成影响矩阵：

然后，结合式（21）数据信息，依据WINGS和DEMATEL方法可计算出CC、AC之间的加权矩阵分别为：

最后，由矩阵M1和Z3求出基于WINGS加权矩阵构造方法的加权超矩阵W2及其极限超矩阵（详见表8、表9）。同理，由M1和Z4得出基于DEMATEL方法的加权超矩阵W3及其极限超矩阵参见表10、表11）。

表8 加权超矩阵W2

表9 极限超矩阵

表9 极限超矩阵

c1c2a1a2a3 c1 c2a1 a2 a3 0.356 0.283 0.118 0.128 0.115 0.356 0.283 0.118 0.128 0.115 0.356 0.283 0.118 0.128 0.115 0.356 0.283 0.118 0.128 0.115 0.356 0.283 0.118 0.128 0.115

表10 加权超矩阵W3

分析表9数据可知，基于WINGS的加权矩阵构造方法得出方案a1，a2，a3的极限权重分别为0.118、0.128、0.115，进而可知a1,a2,a3的优先序为a2≻a1≻a3（见表12）。类似地从表11数据可知，基于DEMATEL的加权矩阵构造方法求出的a1，a2，a3的优先序为a2≻a3≻a1（见表12）。

表11 极限超矩阵

表11 极限超矩阵

c1c2a1a2a3 c1 c2a1 a2 a3 0.335 0.265 0.127 0.145 0.128 0.335 0.265 0.127 0.145 0.128 0.335 0.265 0.127 0.145 0.128 0.335 0.265 0.127 0.145 0.128 0.335 0.265 0.127 0.145 0.128

表12 采用不同加权矩阵构造方法得出的方案评价结果

由表12可以看出，虽然基于WINGS的加权矩阵构造方法和基于DEMATEL的构造方法均可得出最优方案为a2，但方案a1，a3的优劣排序却完全不同，这充分说明是否考虑因素集自我影响关系对最终的方案排序有重要影响，换言之，因为基于WINGS的加权矩阵构造方法充分考虑了因素集自身的影响强度，所以它较之于基于DEMATEL的加权矩阵构造方法更为合理、可靠。

此外，本文所提新方法与基于WINGS的加权矩阵构造方法在a1，a2的方案优劣排序上也不同，其原因在于以下两点。第一，虽然两种方法使用了相同的专家定性判断信息，但它们采用的标度值却完全不同。区别于WINGS方法所采用的点估计标度值，新方法采用的是三角模糊数标度值，因而它更易于有效反映专家判断的模糊性和不精确性。第二，两种方法的群组专家信息集成方式不同。基于WINGS的构造方法采用均值法来集成专家信息，并且为使集成后的数据信息与标度值相匹配，采用了四舍五入的近似计算。然而，由式（6）到式（14）可知，新方法在专家信息集成过程中无任何近似处理，从而确保了集成过程中的信息无损。显然，新方法得出的结果可信度更高。

综上所述可知，本文所提出的ANP加权矩阵新构造方法充分考虑了专家判断信息的模糊性、数据集成过程的信息无损以及严密推理机制等诸多要素，因此得出的方案排序结果较之于其他构造方法更为科学可靠。

ANP系统因素集加权矩阵的构造是ANP方法体系的一个重要理论核心。本文在分析已有加权矩阵构造方法（即两两比较法、等权假设构造法以及基于DEMATEL的构造方法）及其存在缺陷的基础上，提出一种模糊WINGS视角下的ANP因素集加权矩阵新构造方法。与

5 结束语

原有方法相比，本文提出的新方法主要有如下三方面优点。其一，由于因素集是一个复杂的整体，人们对系统整体行为的认知往往极为有限，因此新方法充分考虑专家对因素集之间关联关系判断的不精确性，建议采用模糊语言标度值替代传统的点估计标度值。其二，提出采用模糊WINGS方法替代传统ANP加权矩阵两两比较构造模式，有效克服了传统构造模式比较机理混乱的内在缺陷。其三，新方法通过对因素集自我影响关系进行模糊逻辑判断，不仅完善了DEMATEL方法忽视因素自我影响关系的不足，而且也使得专家判断比WINGS方法采用点估计判断方式更为容易。最后，通过一个实例对比验证了新方法的有效性、科学性，有着重要的实践推广应用价值。

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