基于齿面点坐标测量值的弧齿锥齿轮齿面建模

徐彦伟，张连洪

(1.河南科技大学 机电工程学院，洛阳 471003；2.天津大学 机械工程学院，天津 300072)

0 引言

弧齿锥齿轮是重要的机械传动基础元件，广泛用于各种高速、重载的相交轴传动中[1～5]。近年来，研究人员对弧齿锥齿轮齿面加工误差的测量与评定以及弧齿锥齿轮齿面几何建模等进行了大量研究。王伏林[6]进行了数字化齿面加工误差评定基准的研究，提出了一种齿面加工误差的评定策略，建立了加工误差评定基准数学模型；曹雪梅[7,8]进行了弧齿锥齿轮齿面误差检测与实验验证，研究了齿面的加工误差、加工变形、安装误差等因素综合产生的齿面误差。本文通过对弧齿锥齿轮齿面数学模型的离散化处理，依据弧齿锥齿轮齿面离散点三维坐标测量方法，通过CNC3906齿轮测量中心对一给定参数的弧齿锥齿轮齿面离散点三维坐标进行了测量。最后，对齿面离散点三维坐标测量结果进行了旋转处理，并利用NURBS方法建立了齿面空间曲面模型，可以为弧齿锥齿轮齿面加工精度和齿面离散点加工误差的评定提供模型参考依据。

1 弧齿锥齿轮齿面点坐标测量原理

弧齿锥齿轮齿面是复杂的空间曲面[9]，齿面上任一点的坐标均可表示为机床摇台转角q和刀盘相位角θ的二元函数。在弧齿锥齿轮的实际测量中，齿面通常采用离散点表示

图1 弧齿锥齿轮齿面离散点旋转投影示意图

依据图象旋转不变距特性[10]，将弧齿锥齿轮空间齿面投影到弧齿锥齿轮轴截面，再将其旋转到工件齿轮坐标系轴截面内划分齿面网格，确定弧齿锥齿轮的齿面离散点，通常参照格里森公司弧齿锥齿轮测量标准规定，沿齿长方向取9列，齿高方向取5行，共45个齿面离散点，如图1所示。

弧齿锥齿轮齿面点坐标测量的基本原理：1）建立弧齿锥齿轮理论齿面。2）理论齿面划分网格。3）理论齿面点坐标计算。4）对工件齿轮进行定位，使工件齿轮与理论齿面坐标系重合。5）齿面测量基准点定位。将三维侧头放置于齿面中点所在的圆周与XOZ平面的交点处，使三维测头与被测齿面相切。（6）齿面点坐标测量。工件齿轮定位完成，齿面测量基准点定位后，即可按照一定的顺序，对齿面点坐标进行测量。图2为弧齿锥齿轮齿面离散点坐标测量原理示意图。

图2 弧齿锥齿轮齿面离散点坐标测量原理示意图

2 基于齿面点坐标测量结果的建模原理

依据弧齿锥齿轮齿面离散点三维坐标值建立齿面三维模型，属于逆向工程中的曲面重构技术范畴。非均匀有理B样条NURBS（Non-Uniform Rational B-Splines）是在逆向工程实际应用中的一种非常优秀的曲线、曲面造型方法。

利用NURBS方法构建弧齿锥齿轮齿面三维模型的基本原理是通过齿面上离散点的三维坐标值，重构一组NURBS曲线，然后再依据已有的NURBS曲线构造NURBS曲面。一条k次NURBS曲线可以表示为一段有理多项式矢函数

式（2）中，iW和表示控制顶点和与控制顶点相联系的权因子，是由节点矢量按照德布尔—考克斯递推公式（3）决定的第i个k次B规范样条基函数。

式（3）中，对于重节点情况约定0/0=0。

将NURBS曲线以张量积形式推广，即可得NURBS曲面。一张kl×次NURBS曲面可以用有理分式表示为：

3 弧齿锥齿轮齿面点坐标测量实例

在CNC3906齿轮测量中心（如图3）上对表1所示几何参数的弧齿锥齿轮大轮齿面离散点三维坐标进行了测量。表2为部分齿面点三维坐标的初始测量结果。

图3 CNC3906齿轮测量中心测量齿面点坐标

表1 被测工件齿轮基本几何参数

表2 部分齿面点三维坐标初始测量结果

4 弧齿锥齿轮齿面三维模型

在图2所示弧齿锥齿轮齿面点测量原理示意图中，被测齿轮坐标系与齿轮测量中心的坐标系重合后，被测齿轮仍可以绕齿轮轴线旋转。齿面点在不同的角向位置下测得的齿面点三维坐标是不相同的，因此在齿轮测量的时候，将被测齿轮绕自身轴线旋转某一角度，使得齿面中点恰好处于XOZ平面内，完成测量过程的定位。这样同一齿槽两侧的齿面在测量的时候，两侧齿面中点的测量坐标便相同，依据这种初始测量数据建立的两个齿面三维模型也会在齿槽的中点处相交，而不是分别处于齿槽的两侧（如图4所示）。

图4 依据初始测量数据建立的齿面三维模型

图5 齿面离散点坐标旋转示意图

然而，理论齿面推导过程中，齿槽中点处于XOZ平面内，齿槽两侧齿面的中点位于齿槽中点的两侧，即位于XOZ平面的两侧。因此，对齿面测量结果进行分析和依据测量结果建立齿面三维模型，都必须将凸面和凹面的测量结果绕Z轴分别旋转ϕ和'ϕ角度（如图5所示），使得测量齿面中点和理论齿面中点重合，只有这样才能求得测量值和理论值之间的实际偏差。

在图5所示齿面测量数据旋转示意图中，假设A点为实际测量时齿面中点所在位置，则将齿面凸面的45个测量数据绕Z轴旋转ϕ角，使得A点转动到B点，即可求得与齿面凸面理论齿面点相对应的45个点的三维坐标数据。同理，将齿面凹面的45个测量数据绕Z轴旋转'ϕ角，使得A点转动到C点，即可求得与齿面凹面理论齿面点相对应的45个点的三维坐标数据。

式（5）中，ϕ取负值。当齿面凹面的45个测量数据绕Z轴旋转'ϕ角，由A点转动到C点时有：

由齿面点三维坐标的初始测量结果可得齿面凸面和凹面中点坐标的初始测量值以及齿面凸面和凹面中点坐标的理论计算值分别为A=(105.6359,0,-53.8753)、B=(105.499628,363952,-53.8753)、C=(105.499087,-5.374586,-53.8753)。将A、B、C三点的坐标值分别代入（5）和（6）中可得ϕ角和ϕ '角的值分别为2.9105956°和2.9163687°。将齿面凸面和凹面各个点的初始测量坐标值与ϕ角和ϕ '角的值依次代入（5）和（6）即可得到与理论齿面点相对应的齿面点测量值。部分旋转后的测量结果如表3所示。依据旋转后的齿面离散点三维坐标，采用NUBRS方法构建的弧齿锥齿轮齿面三维模型如图6所示。

表3 部分齿面点三维坐标旋转后结果

图6 弧齿锥齿轮齿面NURBS曲面模型

5 结论

依据弧齿锥齿轮齿面数学模型和弧齿锥齿轮齿面离散点三维坐标测量方法，对一给定参数的弧齿锥齿轮齿面离散点三维坐标进行了测量，通过对三维坐标测量结果的旋转处理，利用NURBS方法建立了弧齿锥齿轮齿面的三维模型，可以为弧齿锥齿轮齿面离散点加工误差的评定提供模型参考依据。

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