光线示波器振子非线性动力学分析

杨志安，李 然

（唐山学院a.唐山市结构与振动工程重点实验室；b.装备制造系，河北 唐山063000）

光线示波器是测试中最通用的记录仪器之一，该示波器的测量元件是一个磁电式振子，可分为动圈式和动磁式两类。对光线示波器振子的动态特性的研究已有很多：文献［1］介绍了光线示波器工作时记录环节不造成失真记录的使用技巧；文献［2］给出了调整振子阻尼比的简洁方法；文献［3］对光线示波器的振子动态特性进行了计算机仿真，为根据信号要求合理选配振子进行技术测试打下理论基础；文献［4］对光线示波器的测量误差进行了理论分析和实验验证；文献［5］探讨了影响光线示波器记录动态信号的因素及解决方法。上述研究在涉及到光线示波器振子的动态特性时，均未考虑到振子运动的非线性特性，而实际上光线示波器的振子系统是存在非线性因素的，因此建立反映光线示波器振子系统的非线性动力学方程是研究其动态特性问题的基础。

1 光线示波器振子系统的非线性动力学方程

动圈式振子的活动部分的工作原理如图1所示。它是由磁铁、线圈、张丝组成的。当有电流通过时，线圈将产生电磁力偶矩，使线圈转动一个角度。

振子活动部分的受力主要包括：电磁力偶矩M、张丝恢复力偶矩Mc、粘性阻尼力偶矩MR、惯性力偶矩MF。

图1 振子动圈活动部分工作原理

电磁力偶矩M与被测电流成正比：

式中：n－线圈匝数；B／T－磁感应强度；S／m2－线圈的面积；i0／A－流经线圈的信号电流强度幅值；C／（Nm·rad－1）－张丝的弹性系数；θ（t）／rad－线圈的偏转角；β－线圈转动阻尼系数；I／（kg·m2）－线圈转动惯量。

由动静法可写出振子系统的动力学方程为

方程（5）即是常用的振子系统动态特性的动力学方程，然而该方程的建立并未考虑到振子系统的非线性因素。振子系统中的张丝可简化为系物弦［6］，它所提供的恢复力偶矩可以表示成Mc＝－Cθ－kθ3，其中k为张丝的非线性弹性系数，因而方程（5）可改写为

式（7）是计入张丝的非线性因素后，振子系统的非线性动力学方程，它反映了张丝的非线性恢复力对振子系统的影响。

2 光线示波器振子系统主共振

下面分析光线示波器振子系统发生主共振的可能性。所谓主共振是指外激励频率ω接近派生系统固有频率ω0时的共振。如果系统是线性小阻尼系统，这时很小的激励幅值就会激发出强烈的共振［7］。按照主共振发生的必要条件，在振子系统阻尼、非线性系数和外激励幅值前面冠以小参数ε，同时为了研究主共振，令

应用多尺度法研究解得系统主共振一次近似定常解关于振子线圈振幅a和相位ø满足的代数方程：

两边分别平方后相加，消去ø，得到系统主共振幅频响应方程：

3 数值计算与结果分析

选择FC7－2500型振子［8］进行参数计算，对应ω0＝15 700rad／s，其它参数赋值如下：n＝10，S＝5×10－5m2，I＝1×10－8（kg·m2），C＝2.465N·m／rad，k＝1×10－7N·m／rad。

按照式（11）可以绘制出光线振子示波器振子系统主共振响应曲线。

图2所示是改变振子系统的磁感应强度时，振幅a与激励频率ω之间的关系。从图中可知，增大磁铁的磁感应强度可以增大系统主共振的振幅和共振区。理论分析可知这是因为光线示波器振子线圈激励与磁铁的磁感应强度成正比的结果。

图2 不同磁感应强度振子线圈幅频响应曲线

图3所示是改变线圈的电流信号的强度时，振幅a与激励频率ω之间的关系。从图中可知，增大线圈的电流信号的强度可以增大系统主共振的振幅和共振区。理论分析可知这是因为光线示波器振子线圈激励与线圈的电流信号的强度成正比的结果。

图3 不同电流信号强度振子线圈幅频响应曲线

图4所示是改变振子系统阻尼时，振幅a与激励频率ω之间的关系。从图中可知，增大振子系统阻尼可以减小系统主共振的振幅和共振区。理论分析可知这是因为光线示波器振子线圈激励与振子系统阻尼成反比的结果。

图4 不同阻尼振子线圈幅频响应曲线

4 结论

通过在光线示波器振子系统中引入张丝的非线性恢复力偶矩，建立了光线示波器振子系统的动态特性的非线性动力学方程。分析表明当振子系统的磁感应强度或电流信号的强度较小时，可以诱发振子系统的主共振。数值计算了振子线圈的主共振幅频响应曲线，分析了系统参数对幅频响应曲线的影响，表明增大振子系统的磁感应强度或电流信号的强度可以增大系统主共振的振幅和共振区，增大振子系统阻尼可以减小系统主共振的振幅和共振区。

［1］ 冯德虎，刘满银.光线示波器振动子阻尼比的确定技巧［J］.陕西科技大学学报，2003，21（3）：192－194.

［2］ 冯德虎.光线示波器振动子阻尼比确定方法的研究［J］.振动、测试与诊断，2003，23（3）：111－113.

［3］ 洪朝优，马军.光线示波器振子动态特性的计算机仿真［J］.煤矿机械，2005（10）：44－46.

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［6］ 杨志安，齐家璋.系物弦在温度场中受简谐激励的亚谐共振研究［J］.机械强度，2009，31（2）：334－338.

［7］ 胡海岩.应用非线性动力学［M］.北京：航空工业出版社，2000：64－67.

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