解决初中几何最值问题的三种方法

在解决平面几何问题时，学生经常会遇到求线段或线段和的最值问题。遇到这类题目时，学生通常不知从何下手。其实，解决这类问题最常见的思路是“两点之间线段最短”“点到直线的距离垂线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”。

一、利用轴对称解决线段和最小值

解决线段和最小值的问题经常与轴对称联系起来，通过作对称点把要相加的线段进行等量代换，放置在同一条直线上成为一条线段。人教版八年级数学教材中有一道例题：“A、B两镇在燃气管道L的同旁，现在要修一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站应修在什么地方，才能使输气管线最短？”

在解答这个例题时，笔者做了其中一个点关于L的对称点，此对称点与另一点的连线与直线L的交点P，即为到两镇之间最短距离的地方。在掌握这个例题后，笔者又出了两道题目：“①在菱形ABCD中（如图1所示），AB=4a，E在BC上，EC=2a，∠BAD=120°，点P在BD上，则△PEC周长的最小值是 。②如图2所示，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，求PE+PC的最小值。

这两道题目可以直接转化成例题来解答，属于“两点一线型”。我们再看下一道题目：“如图3所示，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角两边上有两动点Q、R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是 。”本题只有一个点P，却有两条直线OA、OB。本题思路是过点P分别作OA、OB的对称点，再连接两对称点与两直线的交点，即为Q、R。此时△PQR的周长最小。

这种题目可归纳为“一点两线型”。如2011年长沙市的一道中考题：“使得函数值为零的自变量的值称为函数y=x-1的零点。例如，对于函数y=x-1，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数y=x-1的零点。已知函数y=x2-2mx-2（m+3）（ m为常数）。①当m=0时，求该函数的零点；②证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；③设函数的两个零点分别为x1和x2，且 。此时，函数图像与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线y=x-10上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式。”

二、利用三角形的三边关系解决最小值问题

平面内有三个点，当三点不共线时，构成三角形，那么两边之差小于第三边；当三点共线时，则两线段之差等于第三边。掌握这个规律之后，我们就可以解决一些线段的最大值问题。如2011年甘肃省兰州市的一道考题：“如图4所示，在平面直角坐标系xoy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D（4， ）。①求抛物线的表达式。②如果点P由点A出发，沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设S=PQ2（cm2）。③试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围。④当S取 时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由。⑤在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标。

三、利用点到直线的距离垂线段最短解决最小值问题

人教版七年级数学教材中有一道思考题：“在灌溉时，要把河中的水引到农田，如何挖渠最近？”并以此引出垂线段的定义及其性质。

我们来看这道题目：“（1）已知点A的坐标为（2 2 ，0），点B在直线y=-x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 。（2）一艘渔船正以30海里/小时的速度由西向东追赶鱼群，渔船在A处看见小岛B在船的北偏东60°。40分钟后，渔船行至O处，此时看见小岛B在船的北偏东30°。在如图5所示的坐标系中，点O为坐标原点，点A位于x轴上。根据上面的信息，请在图中画出表示北偏东60°、北偏东30°方向的射线，并标出小岛B的位置，并求出点A及点B坐标。若已知以小岛B为中心，周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有可能进入危险区？

（作者单位：江西省南康市龙岭中学）