对斜面上平抛运动的探讨

摘 要： 平抛运动是高中物理中重要的研究问题的方法，对于相关结论的探讨会加深学生对平抛知识的理解应用。本文重点研究了物体在斜面上做平抛运动时的一些问题，特别是容易出错的地方。

关键词： 斜面 平抛运动 高中物理教学

平抛运动是高中物理中的重要内容，教学过程中经常会遇到发生在斜面上的平抛运动。笔者发现，对于这类问题，许多学生往往浅尝辄止，导致一些错误认识长期得不到纠正。本文就相关问题进行详细探讨。

例题：如图1所示，从倾角为θ的斜面上的O点以速度v平抛一个小球，最终落在斜面上的A点。求：（1）小球从抛出开始计时经多长时间落到A点？位移的大小|OA|为多少？（2）小球经多长时间距离斜面最远？最远距离是多大？（3）若以小球轨迹上距斜面最远点为分界点，将其轨迹分为两部分，两部分长度相等吗？是否关于该点对称？（4）斜面足够长，改变v的大小重新平抛，试证明末速度方向与斜面之间的夹角为定值，与v的大小无关。

解析：

一、斜面上平抛运动位移和时间的确定

如图2所示，将位移OA分解为水平方向的位移x和竖直方向的位移y，显然有y=xtanθ，设平抛运动的总时间为，根据小球在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做自由落体运动，有：，以上三式联立得：。显然当斜面夹角确定时，平抛运动的时间只与初速度的大小成正比，与其他因素无关。位移大小|OA|，当θ确定时，抛点和落点间的距离与初速度的平方成正比。

二、距离斜面最远的条件

如图3所示，采用正交分解法将小球所受重力mg与初速度分别沿垂直于斜面和平行于斜面方向分别分解，根据力的独立作用原理知，运动时间共同决定小球离开斜面距离的大小。所以当v减小到零时，小球离开斜面的距离最远，此时只有，即当小球的速度方向与斜面平行时距离斜面最远。

三、距斜面最大距离的确定

四、轨迹是否关于最远点B对称

如果不加仔细分析，许多同学就会想当然地认为轨迹关于最远点B对称，其实不然。原因在于B点为整个过程的中间时刻，故曲线OB和曲线BA在水平方向的分量是一样的，而它们在竖直方向的位移之比为1∶3，如图4所示，所以这两段曲线的长度根本就不相等，即轨迹不可能关于B点对称。其实对于斜上抛运动物体的轨迹才有对称的情况，对称轴为过最高点的竖直线，原因在于斜上抛运动的轨迹是一条完整的抛物线，在最高点两侧都有轨迹图像，才会有对称的情况发生，而平抛运动物体的轨迹根本不具备对称的可能性。

五、相对于斜面落点速度方向的唯一性

任何平抛运动和类平抛运动中，一段时间内末速度的反向延长线必定过这段时间内水平位移的中点。这是一个非常重要的结论，在许多方面都有着巧妙的应用。由①③两式可得：tanα=2tanθ④，该式说明速度偏向角的正切值是位移偏向角正切值的2倍，这个结论也适用于所有平抛运动和类平抛运动。④式说明斜面上的平抛运动落点速度方向与斜面之间的夹角β和初速度大小无关，即β=α-θ=arctan（2tanθ）-θ，很显然β为定值。

总之，在斜面上物体的平抛运动值得分析的探究点很多，只要能够抓住问题的本质，采用恰当的物理规律和分析问题的方法，就一定可以达到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的境界。

为了很好地应用上面的一些结论，在文章最后附上了一道练习题，以期起到小试牛刀的作用。

（参考答案：B）