理解数学的本质， 从数学概念入手

摘 要： 数学概念是构建数学理论大厦的基石，是数学学科的灵魂和精髓，也是学生进行数学思维的细胞，在教学中具有举足轻重的作用。本文在分析数学概念教学局限性的基础上，对概念的引入、形成、巩固等方面进行了深入的研究。

关键词： 数学概念 概念教学 本质

《数学课程标准》要求：重要的数学概念与数学思想的呈现应体现螺旋上升的原则，逐步让学生加深对数学知识、思想和方法的理解。由于数学高度抽象的特点，注重体现重要概念的来龙去脉，因此，在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。

长期以来，由于受应试教育的影响，不少数学教师仍然没有转变观念。课堂上比较重视解题训练，轻视概念教学，造成解题与概念脱节，使学生对概念理解含混不清，一知半解，从而不能灵活地运用概念解决实际问题。还有些教师仅仅把数学概念看作一个名词而已，概念教学就是对概念作解释，要求学生记忆，而没有看到像函数这样的概念，本质是一种数学观念，是一种处理问题的数学方法。事实上，这严重影响了学生思维的发展和能力的提高，并且这与新课程大力提倡的培养学生合作探究能力与创新精神严重背离。那么在新课标下如何帮助学生更好、更深刻地理解数学概念，如何引导学生灵活地应用数学概念解决实际问题呢？

根据数学概念的形成过程及学生的认知结构，数学概念的教学一般分为三个阶段：①引入概念，使学生感知概念，形成表象；②通过分析、抽象和概括，使学生理解和明确概念；③通过例题、习题使学生巩固和应用概念。

一、优化概念的引入，激发学生的思维

数学概念的引入，是数学概念教学的第一个环节，也是十分重要的环节。概念引入得当，就可以紧紧地围绕课题，充分地激发起学生的兴趣和学习动机，为学生顺利地掌握概念起到奠基作用。

引出新概念的过程，实际上是揭示概念的发生和形成过程，而各个数学概念的发生形成过程又不尽相同，有的是现实模型的直接反映；有的是在已有概念的基础上经过一次或多次抽象后得到的；有的是从数学理论发展的需要中产生的；有的是为解决实际问题的需要而产生的；有的是将思维对象理想化，经过推理而得到的；有的则是从理论上的存在性或从数学对象的结构中构造产生的。因此，教学中必须根据各种概念的产生背景，结合学生的具体情况，适当地选取不同的方式去引入概念。一般来说，概念的引入可以采用如下几种方式。

1.以现实原型引入。

中学许多数学概念来源于现实世界，对于这一类概念，可引导学生分析日常生活和生产实际中的事例，观察有关实物、图式、模型，在具有充分感性认识的基础上引入概念。如在《圆的认识（1）》的教学中可以这样引入。

师：我们都看到过车轮，那么车轮都是……

生：（一起回答）圆的。

师：那为什么将它做成圆的？做成方的行吗？

生1：圆的好滚动呀！如果做成方的，汽车没办法行驶。

师：那能做成“扁圆”的吗？这种形状也能滚呀？

（大部分学生始料不及，他们感觉有意思，开始思考。一会儿，很多学生举起了手。）

生2：这样做的汽车开起来不稳定，否则车上的乘客就会上下颠簸，那这样的汽车谁敢坐。（该生胆量比较大，还模仿一下，这时满堂大笑。）

师：那怎样才能稳定呢？

生：（一起回答）做成半径相等的。

通过这样的引入，学生由生活中车轮“能滚动”进入“滚动得平稳”的思考中来。经过这样恰当地引导，他们就会积极地参与到圆的概念，圆的半径、直径、圆心等概念的学习中来。

其实，这样的例子在我们的教材中比比皆是，需要教师去观察、提炼生活中的素材。比如，通过说明现实生活中存在大量的具有相反意义的量，引出正、负数的概念。在提供日常生活中各种对应关系的基础上，引入“函数”的概念。事实上，适当地联系现实原型，可以丰富学生的感性认识，有助于他们理解数学概念，也有助于他们将客观现实材料和数学知识融为一体，实现“生活数学化”，培养他们用数学的眼光看待生活问题的能力。

2.以已有概念引入。

从新概念的形成背景看，有的数学概念具有清晰的现实背景或直观模型，有的则产生于已知的相对初级的概念基础上。对于后者，常根据新旧概念的联系，可采用相应的模式引入。

（1）从种概念引入类概念。

在概括程度较高的旧概念基础上，添加新的属性，通过逻辑推演，直接引入新概念，平面几何中的概念多数属于这种情况。比如，在平行四边形的基础上增加“有一个角是直角”的属性，便得到“矩形”的概念；在三角形的基础上增加“两边相等”引入“等腰三角形”的概念等。

（2）采用对比方法引入。

对比方法是对于两种不同的对象，按照某些特性，根据它们的相似点或区别之处引入新概念。例如，分式的有关概念通过分数相应概念引入；相似三角形概念可以从全等三角形概念中抽去各边相等这个属性来引入。

（3）利用逆反关系引入。

有时也可根据逆反关系引入新概念。逆反关系包括：逆运算、逆反性问题等。逆运算关系如加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、指数与对数等。逆反性问题如已知解析式画图形，已知图形求解析式等。

（4）运用概念的推广引入。

概念的推广是从特殊到一般的发展过程，它也体现了概念之间的联系。如，数的认识过程就是逐渐推广的过程。

3.以数学问题引入。

通过数学问题引入概念，可以充分说明学习新概念的必要性，有助于产生认识需求，明确认识任务。这里的数学问题，一般来自于生活实际，或者是数学本身发展的需要。例如，在学习“乘方”的概念时，可以提出下面的问题引入课题：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，8个分裂成16个……依次下去1个这样的细胞分裂n次后，最后有几个细胞？又如，学习“正数、负数”时，生活中有些量不够减，引入负数概念。

4.以数学故事引入。

学生往往对历史故事和历史人物感兴趣，教学中，教师可以结合概念适当引入一些数学史、数学家的故事，激发学生的学习兴趣。如讲实数的概念时，教师可以介绍古希腊毕式学派的故事，使学生在轻松的气氛中接受无理数的概念。

5.动手操作引入。

新课程理念要求学生自主合作探究的学习方式。因此在概念学习时，可多让学生亲自动手试一试，在实验中得出结论。如在“直棱柱的表面展开图”、“三视图”学习时，让学生用纸自做模型，然后用剪刀剪一剪，做一做，或从家里带肥皂块、土豆块等易切割的东西，进行现场操作，学生通过动手、动脑经历了发现数学概念的“演习”。实践过程中发现课堂的气氛非常活跃，就算是平时对数学学习比较冷漠的学生也积极地参与到活动中来，他们非常容易地跨越了空间想象的难关。

6.以多媒体教学手段引入。

对于抽象的概念教学，教师可以充分利用多媒体的优势，这样不仅可以激发学生的学习兴趣，还可以刺激学生的多种感官，由形象直观的认识提高为抽象的概括，使抽象的数学知识以直观的形式出现，从而突破学习的难点。如在学习“直线、射线、线段”概念时，先用课件播放一些图片（运动会的比赛场景、天空中的流星、激光、笔直的铁轨、输电线、探照灯的灯光等），再用动画演示，展示直线、射线、线段的形成过程，然后师生互动，在讨论交流中详细地比较线段、射线、直线的概念。

7.直接引入。

有些概念，是用揭示概念外延的方法给出的定义，这样的概念比较具体，学生易于接受，容易理解，在教学中就不必转弯抹角，开门见山引入效果可能更好。例如，“两边相等的三角形是等腰三角形”等概念就可以直接提出。还有些基本概念，如点、直线、平面等可用公理化方法定义的概念，我们都可以直接提出。

概念的引入方式很多，这些方式要灵活选取，有时还可以交叉使用。但不管采用什么方式，必须注意以下几个原则：一是材料的选取要确切，要突出概念的本质特征；二是紧扣学生已有的认知结构；三是尽可能联系学生熟悉的生活实际；四是能够引起学生思考、探索的兴趣；五是不要故意绕圈子。

二、透析概念的形成，发展学生的思维

引入阶段提供的生活实例或观察材料是形成概念的毛坯，接下来便是去粗存精、由表及里的思维加工阶段，其主要任务是通过抽象化、形式化来掌握概念的内涵，廓清概念的外延。这一步是形成概念思维活动过程中关键的一步。数学教学通常经过下列环节达到对概念本质属性的理解。

1.加强概念的理解，明确概念的内涵。

引入概念仅是概念教学的第一步，概念的理解才是概念教学的中心环节。因此，为了让学生准确地理解概念，明确概念的内涵与外延，正确表述概念的本质属性，教学中可采用以下具有针对性的方法。

（1）抓要点，明本质。

挖掘概念的内涵与外延，抓住其本质，使学生不仅知其然，更知其所以然。以直角三角形中正弦函数为例进行剖析，正弦函数涉及比的定义、角的大小、点的坐标、距离公式、相似三角形、函数概念等知识，其中“比”是这一概念的本质特征。为了突出这个比值，引导学生思考：①正弦函数实质上就是一个“比”，这个比是∠α的对边与斜边的比值；②在角α的终边上任取一点P（x，y），那么这个比就是

③这个比值随的∠α大小确定而确定，与∠α的对边与斜边的长度无关；④由于对边小于斜边，因此这个比值不超过1。经过对正弦概念的本质属性分析后应指出：直角三角函数有六个，这便是三角函数的外延，而在初中我们仅学习其中的三个（正弦、余弦、正切）。

在几何中，很多概念的词语表述比较长，这时可以对其加工分解，明确要点；还有些概念只需望“名”就能生“义”，就能明确要点，这样操作也便于记忆。例如，学习“线段的垂直平分线”概念时，在原来知识的基础上让学生分开理解“垂直”、“平分”的含义，就能抓住它的三个要点：（1）它是一条直线；（2）这条直线过线段的中点；（3）这条直线垂直于这条线段。

（2）恰当运用反例。

概念教学中，除了从正面去揭示概念的内涵外，还应考虑运用适当的反例去突出概念的本质属性，尤其是让学生通过比较正例与反例的差异，对自己出现的错误进行反思，更利于强化学生对概念本质属性的理解。

用反例去突出概念的本质属性，实质是使学生明确概念的外延，从而加深对概念内涵的理解。凡具有概念所反映的本质属性的对象必属于该概念的外延集，而反例的构造，就是让学生找出不属于概念外延集的对象，显然，这是概念教学中的一种重要手段。但必须注意，所选的反例应当恰当，防止过难、过偏，造成学生注意力分散，而达不到突出概念本质属性的目的。

（3）合理运用变式。

依靠感性材料理解概念，往往由于提供的感性材料具有片面性、局限性，或者感性材料的非本质属性具有较明显的突出特征，容易形成干扰的信息，而削弱学生对概念本质属性的正确理解。因此，在教学中应注意运用变式，从不同角度、不同方面去反映和刻画概念的本质属性。一般来说，变式包括图形变式、式子变式和字母变式等。

如，学习了“对顶角”概念后，为了帮助学生认识“对顶角”的本质特征，教师可以出示一些图形，让学生判断一下它们是否是对顶角。

又如，在学三角形的高这一概念时，可以向学生呈现一些在形状、位置等方面有差异的不同三角形（锐角三角形，直角三角形，钝角三角形）的例子，让他们通过对这几种典型变式的思维加工、抽象概括出“三角形的高”的定义。

（4）抓对比，促鉴别。

“有比较才有鉴别”，数学的各种知识要让学生在比较中去思考、去认识。数学的一些概念和规律，理论性较强而且比较抽象，如果把它与学生熟悉的（已知的）相关实体（事物）进行比较，从中理解概念、掌握规律，学生就会对它产生极大兴趣，就会主动思考。如关于“轴对称图形”和“轴对称”这两个概念学生较难理解，但通过让学生观察常见的汽车标志，如奔驰、大众、桑塔纳，商标如工行、农行等，看到它们共同的性质：沿某条直线翻折，左右两边能够完全重合，这样就容易理解轴对称概念。同样让学生们观察天上的月亮和水中的月亮，每人的两只手，中国民间的窗纸、剪纸，发现：一个图形沿某条直线翻折，与另一个图形完全重合，得到“两个图形成轴对称”。于是有：

反过来如果把一个图形直线两旁部分看成两个图形，那么它们成轴对称，把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就成了轴对称图形，这样就使学生对这两个难懂的概念有了透彻的理解。

用对比或类比理解新概念，一定要突出新、旧概念的差异，明确新概念的内涵，防止旧概念对学习新概念产生的负迁移的影响。

（5）究错因，促理解。

尝试错误即学生从正面接触概念后，教师从概念的反面有针对性地创设一种错误的情境，引导学生深入到这种特定的情景中，运用已有的知识和经验去分析错因，去尝试矫正。如，学习实数的概念后学生经常把，0.1010010001，0.1010101010，……当作无理数。究其错误原因，主要是由于学生没有弄清楚无理数的“无限不循环”的本质属性，要求教师引导学生走进所设计的圈套，然后引导学生去找错、纠错，这样更有利于学生对概念的理解，让学生在反思提高对数学概念的理解能力。

2.正确使用符号，减少概念的谬误。

用数学符号来表示数学概念，既是数学的特点，又是数学的优点。由于数学概念本身就十分抽象，加上用符号表示，从而使概念更抽象化，因而在概念教学中真正使学生掌握概念符号的意义，显得尤为重要。在实际教学中要防止两种脱节：一是概念与实际对象脱节；二是概念与符号脱节。后一种脱节很容易使概念与所反映的对象的内容脱节而产生错误。例如，学生不理解根号及运算次序，从而得出如下的错误等式：=5+12=17。

因此，为了避免概念和符号脱节，在教学中必须解决好“语言文字”与“数学符号、式子”之间的互译问题，让学生把代表某一概念的数学符号与概念内涵直接挂钩。

3.明确概念间的联系，深化概念的理解。

数学概念是数学教学内容的知识单元，概念之间的联系则形成了教学内容体系的框架结构。它们之间有着密切的内部联系，把个别概念放在概念的相互联系中来教学，有助于揭示概念的本质。

在既定的课程中，概念之间的各种关系是课程设计者计划安排好的，而对教材的分析者（教师和学生）来说，概念体系隐没在知识内容之中，分析者要通过自己的整理使之明朗化。

概括起来，中学数学教材中概念间的联系有以下几种：

（1）具有属种关系的概念群。

具有属种关系的概念，可用一种逻辑链将它们连接起来，这样便于学生理解和记忆。比如，四边形→平行四边形→矩形→正方形；算术数→有理数→实数……

（2）具有并列关系的概念群。

有些概念之间存在某种潜在的联系，并从属于某个概念程度更高的概念，我们称这类概念具有并列关系。比如，正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂；二次函数、一元二次方程、一元二次不等式；直角三角形、钝角三角形、锐角三角形……这些概念学习可以相互类比，应用时有时还可相互转换。

（3）成群组关系的概念群。

成群组关系的概念群，其中有一个是核心概念，其他是从不同角度解释和烘托这个核心概念的附属概念。如，围绕“圆”的附属概念有“圆心”、“半径”、“直径”、“弧”、“弦”；与“乘方”有关的概念有“幂”、“底数”、“指数”等。

明确概念间的各种联系，我们就可以用“网络图”将教材中隐性概念体系结构显性化，这样直观地展示概念间的相互联系，优化学生的认知结构。

三、重视概念的巩固，拓展学生的思维

数学概念多而抽象，容易混淆或遗忘。学生对概念的掌握也不是一次就能完成的，需要由具体到抽象，再由抽象到具体的多次反复。所以理解概念后还要帮助学生及时地巩固概念，熟记概念，需要教给他们一些巩固的方法。

1.学习记忆的方法，提高记忆的效率。

（1）理解记忆法。“若要记住，必先理解”，也被教学实践所证明了的。凡是学生囫囵吞枣地记住的概念，不久就会忘记；而凡是理解的概念，则往往记得比较牢固。在概念学习中，学生一定要理解所学概念的内涵，使所学的概念与自己头脑的原有概念体系建立多方面的联系，使其达到理解记忆的水平。在概念学习时，不仅要使概念成为学习活动的直接对象，而且要使形成这些概念的思想和方法也成为学习活动的对象。

（2）系统记忆法。数学概念间有一定的系统性，内在联系非常紧密。如果学生在学习中能有计划地将这些概念进行及时整理，使其组织化、结构化、逻辑化，形成一个系统，就便于记忆。上面已经谈到了概念间的联系，让学生明确它们之间的联系，并通过分析后纳入自己概念体系中，可以大大减少记忆量，也容易长久记忆。

（3）形象记忆法。在概念学习中，有些抽象的概念和图形能够直接联系。由于图形直观形象在记忆中一般比较清晰稳定，便于记忆。如数学中的几何概念基本上都可以画出图形，用图形进行记忆效果非常好，这已为实践所证实。

2.灵活地运用概念，发挥概念的作用。

学习的目的在于应用。教学中主要是通过练习达到运用概念的目的，在练习中可以加深理解和巩固概念，并利于启发学生的思维，培养数学能力。练习要注意以下几点：

（1）练习的目的要明确。在练习时必须明确每项练习的目的，使每项练习都突出重点，充分体现练习的意图，做到有的放矢，使练习真正有助于学生理解新学概念，有利于发展学生的思维。根据练习目的不同有如下几种类型：

①对比练习。对于一些容易混淆的概念等，可以用对比的方法进行辨析，帮助学生弄清它们之间的区别和联系。如，学好“轴对称”概念后，可以让学生比较一下轴对称和轴对称图形的区别和联系。

②判别性练习。学生学了某些概念后，可出一些题让学生判断正误，既有助于概念的巩固，同时又能发展学生的鉴别能力。如学了“圆周角”的概念后，让学生判断下图中的哪些角是圆周角。

③改错练习。选择学生容易出错的实例，让学生改正，可使学生更准确地掌握概念，提高学生的鉴别能力。如学习“平方根”概念后，让学生判断正误，④实际应用的练习。如学习了“线段”概念后，同学们已掌握了数线段的规律，并明白在直线上有n个点，可得到条线段。然后提出：若我们每组4名同学，每两人都握一次手，共握几次手？若5名同学呢？n名呢？在此基础上，你还能联想到什么？大家通过讨论交流，联想到了实际生活中的循环比赛，平面上n个点可确定线段、射线的条数，平面上n条直线两两相交的交点个数，还联想到角的数法。

（2）练习的层次要清楚。鉴于初中生的年龄特点，认识事物往往不能一次完成，需要一个逐步深化和提高的过程。因此练习时要按照由简到繁、由易到难、由浅入深的原则，逐步增加练习的难度。

①基本练习，在刚学完新课之后的单项的、带有模仿性的练习，它可以帮助学生巩固知识，形成正确的认知结构。

②发展练习，在学生已基本掌握了概念和初步形成一定的技能之后的练习，它可以帮助学生形成熟练的技能技巧。

③综合练习，可以使学生进一步深化概念，提高解题的灵活性，培养学生的数学思维能力，实现由技能到能力的转化。

3.注重概念的分类，体现概念的价值。

人类的思维反映和把握客观世界是通过概念体系来进行的。概念体系是人类的思维之网，各个概念是这张思维之网的各个“纽结”。教学时，应阐明概念之间的内在联系，明确概念的从属关系，科学地、系统地分析概念的相互关系，有助于提高学生的思维能力。如四边形认知图式的构建，把四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等）的知识有机地融合在一起。因为孤立地教学概念，将限制概念学习的价值。

通过以上的研究，我们认识到数学概念是学生形成良好认知结构的纽带，是智能发展的重要因素。加强数学概念教学，既是深化教学改革的需要，更是培养“智能型”人才和提高全民族数学素质的需要。

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