方程、不等式与函数思想探讨

摘 要： 本文从四个方面，利用方程、不等式与函数关系，通过函数与方程、不等式的转化，不仅帮助学生解题，而且可以活跃学生思维，有助于学生理解数学概念，探索解题捷径，培养学生学习的兴趣，收到事半功倍的效果.

关键词： 方程 不等式 函数 思想探讨

函数的思想，就是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题.

方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.

函数和方程是密切相关的，对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数式y=f（x）看做二元方程y- f（x）=0.函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f（x）=0，就是求函数y=f（x）的零点.

函数与不等式也可以相互转化，对于函数y=f（x），当y>0时，就转化为不等式f（x）>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式.

函数与方程是密切相联的.有时运用方程解函数问题，把函数关系式用解析式表达，并把解析式看做一个方程，通过解方程的手段或对方程的研究、讨论，使问题得以解决.运用函数的思想处理方程的问题，即把方程中的“未知数x”升华为函数的“自变量x”，变静态为动态的函数的思想和方法.

本文从四个方面，利用方程、不等式与函数关系，通过函数与方程、不等式的转化，不仅帮助学生解题，而且可以活跃学生思维，有助于学生理解数学概念，开拓解题捷径，培养学生学习的兴趣，收到事半功倍的效果.

一、深入理解概念，灵活解题

∴x=-9

A.奇函数 B.偶函数

C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

分析：根据函数奇偶性定义

对于任意x∈{-∞，0）∪（0，+∞）

若g（-x）=g（x）成立，则g（x）是偶函数；

若g（-x）=-g（x）成立，则g（x）是奇函数；

若g（x）≠g（x）-g（x），则g（x）是非奇非偶函数.

由于函数关系式繁琐，不选用定义证明它的奇偶性.而挖掘其隐含条件，构造g（x）与g（-x）的关系式，体现了方程的思想.

由于G（x）是偶函数

∴有G（-x）=G（x）

解此方程得：g（-x）=-g（x）

根据函数奇偶性定义

∴g（x）是奇函数.

三、利用函数特征，巧设方程

分析：此题一个等式两个未知量.因此，需利用隐含条件，再造一个方程，组成方程组来解.

解：∵f（x）是偶函数

∴有f（-x）=f（x）

又∵g（x）是奇函数

∴有g（-x）=-g（x）

本题如按常规方法来解：平方展开，得出一个繁杂的式子，往下思路一般会受阻.下面结合图像，利用解析几何知识来解.

解：y=■+■

=■+■

所以将y看成是坐标平面上动点P（x，0）到定点A（0，-3），B（4，5）的距离之和.由于点P在x轴上，点A、B在x轴的两侧，因此|AP|+|BP|的最小值就是|AB|.（三角形两边之和必大于第三边）

∴y■=|AB|=■=4■

此题这样处理，大大简化了运算量，而且很直观.

例6：当k∈（0，1/2）时，方程■=kx解的个数为（？摇 ？摇）

A.0 B.1 C.2 D.3

分析：在同一坐标系内作函数y=kx，k∈（0，1/2）和y=■的图像，得到三个交点，故选D.

例7：已知x，y∈[-π/4，π/4]，a∈R且x■+sinx-2a=04y■+siny·cosy+a=0，则cos（x+2y）=？摇？摇 ？摇？摇.

解：已知表明x和-2y是方程u■-sinu-2a=0的根，

而f（u）=u■+sinu-2a在u∈[-π/4，π/4]为单调递增函数，

所以x=-2y，

即cos（x+2y）=1.

函数思想与方程思想结合起来处理例7的综合问题.

总之，对函数的研究离不开方程、不等式知识，在处理有关方程、不等式的问题也离不开函数的观点，关键在于沟通它们之间的内在联系，系统地把握数学知识，寻找解决问题的捷径.

参考文献：

[1]蔡林森.教学革命——蔡林森与先学后教.首都师范大学出版社，2010，2.

[2]车希海.现代职业教育教学实用手册.山东科学技术出版社，2008，8，第一版.

[3]徐长青.简约教学在返璞归真中见实效.中国教育报，2010-5-21.

[4]谭平，陈勇，巫俊平，熊德雅.打造“和谐教育”特色.促进学校内涵发展.中国教育报，2010-6-14.