线性代数课程教学探讨

摘 要： 本文主要研究了线性代数中的几个口诀，引入了数学教学中的实例，强调了充分发挥学生自主性的重要性。

关键词： 线性代数 口诀 实例引入 学生自主性

线性代数是工、管、理、经等各个专业的重要公共基础课程。通过线性代数的教学可以使学生在数学的抽象性、逻辑性与严密性方面受到较为严格的训练和熏陶。因此对于线性代数的教学显得格外重要。笔者结合线性代数课程教学的实践，就课堂教学中口诀，实例引入，认及充分发挥学生的自主性几个方面的重要性进行探讨。

一、线性代数中的几个口诀

一般的教材中在引入n阶行列式的定义时，从具体的二阶，三阶行列式出发，得出用和式表达二阶，三阶行列式的规律：

（1）二（三）阶行列式共有2！（3！）项；

（2）每一项都位于不同行不同列；

（3）每一项都可以写成

（4）当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号。由此给出一般的n阶行列式的定义。

在以上的规律中，第四条的本质就是判断排列的奇偶性，即计算排列的逆序数。如何计算排列的逆序数，可能学生会按照概念去数该排列的逆序的个数，但是如果没有什么规律而杂乱无章地去数，难免会出现漏数的情况。如果我们给学生总结一些口诀，则不但会让他们知道如何去求排列的逆序数，也会激发他们学习线性代数的兴趣。我们可以把求解的法则总结成一个简单的口诀就是向右看齐。记住口诀后，再给他们讲解一些具体的做法。对于给定的一个排列另外一个口诀是左行右列。在同济大学数学系编的线性代数教材的[1]第三章：矩阵的初等变换与线性方程组。介绍矩阵的如下基本性质：对两个m×n矩阵A与B，（1）A与B行等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P使得PA=B；（2）A与B列等价的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使得AQ=B。关于这个基本性质，可以给学生总结左行右列的口诀，也就是在以上性质中关于矩阵的乘法（1）中P是放在B的左边9I/mcilSoAobYA61AKlbM0GH7WhEZL2ObsOv2iEX53c=的，而在（2）中Q是放在B的右边的。如果教学的时间充足，我们可详细地讲解通过引入初等矩阵的知识来证明以上的性质，在证明过程中加深左行右列的口诀的应用。在这同一本教材中的第四章列出：向量组的线性相关性，如果三个矩阵A，B，C满足C=AB，则C的列向量组能由A的列向量组线性表示，相应的B是其线性表示的系数矩阵，它被乘在A的右边；C的行向量组能由B的行向量组线性表示，相应的A是其线性表示的系数矩阵。因此我们也可以总结出左行右列的口诀。在教学的时候利用这个口诀还可以温习第三章的内容。

二、实例引入

线性代数是处理矩阵和向量空间的数学分支，在现代科学的各个领域都有广泛的应用。而对于矩阵概念的引入，如果我们直接给出矩阵的概念，学生就会觉得很抽象，如果给出一个实例来引入，效果则会截然不同。比如中学时，班主任统计班上学生成绩的时候，可以用表格来表示：左列为每一位学生的姓名，右侧分别为每科的成绩。如果把表格里面学生姓名，科目及表格去掉，再把剩下的成绩作为一个整体用括号括起来，就得到了一个矩阵。然后我们再介绍矩阵的概念，相信比直接介绍矩阵的概念效果会好得多。同样的道理对于其他的地方，如果我们能找到生活中的实例来讲解，就会让学生更能加深理解，也更能激起他们的兴趣。

三、充分发挥学生的自主性

在教学中，我鼓励学生在课堂上说出自己的看法。有的时候虽然他们的想法不一定完美，或者根本是行不通的，我也不会批评他们，反而会表扬他们，因为他们是在开动自己的脑筋。他们会想如果自己的方法不怎么好，那不好在哪，我们可能会用书上所讲的，求使得线性方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等的条件。但是当我问学生怎样求解的时候，说明一下这种方法。需要强调的是充分必要条件应该是从两个方向出发。然后我们再讲解使得线性方程的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等的方法，让学生比较一下各种方法的优缺点。这样可以加深学生的理解，激发他们的学习兴趣。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2007，（5）.