高中数学新旧教材中余弦定理的对比分析与教学建议

摘 要： 余弦定理是高中数学学习的重点之一，对于培养学生公理化思想，归纳，从特殊到一般的思想方法发挥着独特的功能。因此，余弦定理教材的编写应符合学生的认知特点。本文通过对新旧教材的编排比较和研究，发现不足，帮助教师形成合理的教学设计。

关键词： 高中数学教学 新旧教材 余弦定理

在课堂教学中，教材是重要的课程资源之一，是体现课程理念的重要媒介。不同的教材体现了不同的知识传授理念，也体现了不同的教学成效。新旧教材之间存在着些许差异，为了能够更好地实施课堂教学，全面细致地比较和研究新旧教材的差异对实际教学工作是有必要的。

本文通过以余弦定理为例，对新教材与旧教材关于余弦定理章节的内容编排特色做了一个比较，主要对余弦定理的提出、余弦定理发现的证明过程等环节做了细致的比较，并在此基础上，提出合理科学的教学建议，帮助教师形成合理的教学设计，提高课堂教学效率。

一、新旧教材的内容设计比较

在人教版数学第二册（下）中，余弦定理被设计在第五章——平面向量的第二节解斜三角形中。新教材人教版数学必修5，余弦定理被设计在单独章节解直角三角形中。

1.关于余弦定理的提出

旧教材直接提出问题，基于特殊到一般的数学思想，从解直角三角形入手，切入余弦定理：新教材给出探究，而新教材结合初中全等三角形的知识，从量化的角度提出问题，体现初中和高中的知识衔接，也为余弦定理解三角形的类型做了铺垫。全等三角形的判定学生在初中时就已学过，这样便于学生建构和联系余弦定理，即三角形的边角关系。

2.余弦定理的发现和证明过程

旧教材因为余弦定理编排在平面向量的章节中，所以，余弦定理的引入也毫无疑问地运用了向量的方法推导出。提出问题后，直接用向量的方法研究问题。

例如，在△ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b。

由此推出余弦定理。

新教材在推导余弦定理的设计上同样也用了向量数量积的方法进行证明，但是提出了思考。引导学生用已学过的知识和方法来解决这个问题。

由于涉及了边长问题，我们可以考虑用向量的数量积，或者用解析几何中的两点间距离公式来研究这个问题。

新旧教材都用了向量数量积的途径来展现余弦定理的证明这一问题。这样的设计合理、简捷，但是对于学生来说，这样的证明方法来得突然、不自然，不利于发挥学生的主动性，无法让学生的学习过程成为在教师引导下的再创造过程，缺少新旧知识的搭建和连接。

3.余弦定理在三角形形状判断的应用

旧教材并未涉及此内容。

新教材从余弦定理和余弦函数的性质两方面相结合，分别对三种形状的三角形进行了量化讲解。

二、基于教材编写对比分析的教学建议

1.对余弦定理提出的教学建议

在教学中，提出问题、创设情境这一环节可直接用新教材的探究，不仅体现了初中高中知识的衔接，还为之后要说明满足已知边角边的三角形的解是唯一的，不会出现正弦定理两解的情况留下了悬念。

2.对余弦定理的发现和证明过程的教学建议

余弦定理的引入及其证明过程，新旧教材中的向量方法虽然简捷，但是这样的证明过程来得太突然，我们可以设计得更自然一些，既让学生联系已学过的知识，又让学生体会到从特殊到一般的探究方法。可作如下设计：

已知直角△ABC，AB、BC、CA的长分别为c、a、b，问如何去求出直角所对的边c边？

同学们很自然地会利用勾股定理解出c边。

其次，若我们将点C沿边BC向左移动，这时原来的直角△ABC变成了锐角△ABC，这时如何去求c边？

若我们将点C沿边BC向右移动呢？这时又会形成钝角△ABC，如何去求c边？

这就将特殊的问题延伸到了一般的问题，形成对任意的三角形如何去求第三边的问题。这样既结合了旧教材的提出问题部分，又是一种学生易接受的探究方法。

参考文献：

[1]人民教育出版社中学数学室编著.全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（下）[M].北京：人民教育出版社，2003.6.

[2]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著.普通高中课程标准实验教科书数学（必修）5[M].北京：人民教育出版社，2007.1.

[3]王思俭，余弦定理的教学设计与反思[J].数学之友，2011.（8）.