浅析几何平均数在物理中的应用

摘 要： 几何平均数在高中物理学习中时常遇到，本文以引力势能推导和减小惠斯通电桥实验误差为例，介绍几何平均数在物理中的应用.

关键词： 几何平均数 引力势能 惠斯通电桥 实验误差分析

1.几何平均数

几何平均数是一种具有特殊用途的平均指标.总体的总量不等于各分量之和，而是等于分量的乘积，对于这样的现象，总体求平均数要用到几何平均数.几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根，计算公式为==.

如，某产品需经三个车间加工，已知第一个车间加工合格率为95%，第二个车间加工合格率为90%，第三个车间加工合格率为98%，三个车间平均加工合格率是多少呢？在连续作业下，后一车间的产品合格率是在前一车间产品合格的基础上计算的，产品总合格率并不等于各车间合格率的总和，而是等于各车间产品合格率的连乘积.因此计算平均合格率要用几何平均数，得到三个车间平均加工合格率===94.3%.

几何平均数在高中物理学习中时常遇到，下面以两则应用为例，介绍利用几何平均数处理物理问题的方法.

2.引力势能公式的推导

万有引力做功，是变力做功.根据万有引力定律，在离地心距离为r处的万有引力为F=-G，这里取径向向外为正向.当一物体从r′沿径向移至r″的过程中，万有引力做功可以这样计算：把r′到r″中间分成无限小段，取其中第n小段，径向距离从r到r，如图1所示.由于Δr=r-r极小，在这小段上的万有引力近似为一个常量，其值可以取为

图1

F=-G

即取Δr中点处引力值.分母中化简，并舍Δr去的二次项，便有

F=-G（几何平均数r=）

引力在Δr上做功为

ΔW=F·Δr=-GMm=-GMm（-）

物体从r′到r″引力做功为

W=∑ΔW=∑F·Δr=-GMm∑（-）=-GMm（-）

根据万有引力做功与物体引力势能的关系W=-ΔE=-（E″-E′），得

引力势能表达式E′=-G.

上述推导中，用到了几何平均数r=，从而有F=-G，这对于初始引入微元方法来说，这种处理是非常有效的.这类似于匀变速直线运动中用平均速度推导位移公式，也是非常有效的一样，便于理解.

人民教育出版社编著的全日制普通高级中学教科书（必修）物理第一册第31页：

根据第四节的平均速度的定义，我们可以知道，做变速运动的物体在时间t内的位移s等于物体在这段时间内的平均速度和时间t乘积，即s=t.由于匀变速直线运动的速度是均匀变化的，它在时间t内的平均速度，就等于时间内的初速度v和末速度v的平均值，即=

把上式代入s=t中，得到s=t=t，其中v=v+at，代入后得到

s=vt+at

这就是匀变速直线运动的位移公式.

事实上，以上两种平均公式，均是积分的结果：

（r）=？蘩F（r）dr=-？蘩Gdr=-G

=？蘩=？蘩（v+at）=（vt+at）=v+at=（v+v）

3.惠斯通电桥测电阻

惠斯通电桥是用比较法测量电阻的一种仪器，它是通过被测电阻与标准电阻进行比较而获得测量结果的，图2就是它的原理电路.待测电阻R与其他三个电阻R、R、R分别组成电桥的四个臂，在A、B两点间连接直流电源E，在C、D点间跨接灵敏检流计G，由于G好像搭接在ACB和ADB两条并联支路间的“桥”，故通常称为电桥.适当调节一个或几个桥臂的电阻值，就可以改变各桥臂电流的大小，使C、D两点间的电势相等，从而使通过检流计中的电流为零.这种情况称为“电桥平衡”.

图2 惠斯通电桥原理电路图

电桥平衡时，C、D两点的电势相等.根据电路知识可知

U=U（1）

U=U（2）

由U=U，整理化简后得到

=（3）

或

R=R（4）

式（3）或式（4）称为电桥的平衡条件，当满足此关系时电桥即能平衡I=0，同时若电桥平衡了，则一定有此关系.

当桥臂R与R交换时（注意：此时要保持R与R两电阻的示值不能动），调节比较电阻R，当该臂电阻为R′时，电桥重新平衡，由式（4）得到

R=R′（5）

再由（4）与（5），取两次测量的结果的几何平均值可得：

R=（6）

上述采用交换法，实际上是用几何平均数减小系统误差，提高测量值的精确度，下面作分析：

由组成桥臂各电阻的基本误差引起的误差.对于（4）式，根据误差传递原则得

=++（7）

由检流计的灵敏度所引起的误差.根据电桥灵敏度的定义（它被定义为当电桥达到平衡后，任一臂的电阻（如R）产生单位相对变化时，所引起检流计指针的偏转分度值Δn，用S表示），由于检流计灵敏度不够高引起的误差为

=（8）

式中Δn是能从检流计上观察到的最小偏转格数，一般取0.1～0.3格.

待测电阻R的测量误差可估计为

=+++（9）

对于（6）式，待测电阻的测量误差变为

=+（10）

如果R选择精确度较高的标准电阻箱，这样系统误差就可以较小.显然采用交换法可以提高测量值的精确度.

参考文献：

[1]程稼夫.中学奥林匹克竞赛物理讲座.合肥：中国科学技术大学出版社，2002.

[2]吕斯骅.全国中学生物理竞赛实验指导书.北京：北京大学出版社，2006.

[3]人民教育出版社物理室.全日制普通高级中学教科书（必修）物理第一册.北京：人民教育出版社，2004.