也谈高中学生数学概念的获取及应用

数学概念是建构数学体系的基础，清晰完整地理解概念的内涵、外延有利于学生透彻把握相关数学问题的本质，快速准确地找到解决数学问题的方法，提高解题能力。

目前高中数学教学基本采用两年新授一年复习的模式，高一高二教学任务重时间紧，教育主管部门阶段性调研测试多，学校对教师考核主要看学生考试成绩，导致一线教师在新授课时概念教学多以告知形式呈现，将教学时间多用于解题训练。采用这种做法，短时间内学生考试水平会有所提高，但由于忽视数学概念产生、发展中蕴含的大量数学思想方法，学生对概念的模糊严重制约学生的发展，瓶颈效应使学生解决许多问题时思维僵化，难以达到企及的高度。只有了解掌握了数学概念的形成、发展及本质，才能更好地帮助学生落实双基，认清数学思想及本质，从而发展学生思维，提高解决问题的能力。

根据多年的教学体悟，笔者认为可以从以下几方面入手帮助学生建构数学概念，提高解题能力。

一、通过创设最能展示概念建构过程的问题情境（生活情景或知识情景），给足学生思维发展的时间，让学生在概念发展的自然进程中理解掌握概念，拓展思维。

数学概念的形成经历漫长的发展阶段，如果仅以告知的形式，则学生难以理解概念的本质，体悟其中蕴含的思想方法。例如函数概念，其实初中、高中没有本质区别，都是从实数集的子集通过某个函数映射到实数集的子集，只是映射的函数不同。初中从运动变化过程中涉及两个变量入手研究它们的关系，高中只不过用集合重新表述而已。教学中可以引导回忆初中函数概念，结合具体函数给出定义域、值域、对应关系等概念，以后引导学生用集合观点表述函数的概念，一切水到渠成。

二、知识来源于生活，很多知识的产生实际是应用产生困惑时的产物，教学时可以创设已有知识基础上难以解决的问题情境，使学生在自我探求中获得新的知识。

如学生已经具备一元方程的知识，如果题设中引进多个变量如何处理呢？学困中寻求转化，通过消元化未知为已知得到多元高次方程（不等式）组的解法。例如，2011年江苏高考填空第13题：设1=a≤a≤…≤a，其中a，a，a，a成公比为q的等比数列，a，a，a成公差为1的等差数列，则q的最小值为 。

【分析】由题意知1≤a≤q≤a+1≤q≤a+2≤q。由q≥a求q的最小值，只要求a的最小值。而a的最小值为1，所以有q≥1q≥2q≥3，从而q≥。本题利用等差数列，等比数列基本量之间的关系消元，得到a和q的不等关系，再利用不等式的性质消去a，最终得到关于q的一元不等式组，然后求解。

三、通过常见数学思想如类比迁移结构或同化概念。

许多知识之间联系紧密，甚至结构形式、研究内容、应用拓展范围等几乎一致，在学生已有一种知识前提下，教师通过适当指导对比激发学生的探求欲望，往往学生能水到渠成地自主构建知识体系。例如，在学生已掌握等差数列的定义、通项公式、求和公式、性质之后，教师通过生活情景归纳出几组等比数列，要求同学们寻找它们的共同特征，从而抽象出等比数列的定义，则学生类比自主研究，通项、求和、性质、应用，一切迎刃而解。

四、通过多角度的应用巩固数学概念。

通过应用不断拓展概念的外延使学生对概念的了解不断深入。知识来源于实践又服务于实践，通过不同侧面、不同角度、不同题型的应用，学生对概念有深刻的认识，应用也会得心应手。其实许多概念公式的得出过程本身蕴含着丰富的数学思想、方法，在应用概念解题中也起着重要作用。例如：推导等差、等比数列前n项和公式的倒序相加法、乘公比错位减法在后续解决问题时应用广泛。

五、通过变式训练、一题多解整合知识，理解概念的本质。

例如，已知扇形AOB半径OA=OB=1，∠AOB=120°，P为弧AB上一动点且=x+y，求x+y的最大值；

在教学向量加法的平行四边形法则时可以将沿基向量，方向分解成=+，条件集中到△POM中，通过余弦定理利用基本不等式求最大值；

在教学向量数量积·=||·||cos∠AOB后，可以引导分析在=x+y两边点乘和，引进∠AOP=θ转化为三角问题求解，或两边平方转化；

在教学向量的坐标运算后，可以通过建立平面直角坐标系，引进∠AOP=θ利用坐标运算转化为三角问题求解；

在教学向量性质：若=λ+μ，则点Q，A，B三点共线的充要条件是λ+μ=1，后引导分析=x+y的特点，连接A，B交OP于Q，令=m，则问题转化为=mλ+mμ，从而x+y=mλ+mμ=m（λ+μ）=m==，问题解决。

教学有法，但无定法，贵在得法，数学概念是构建数学知识体系大厦的基石，基础不牢则学生数学素养达不到应有的高度，教师普遍追求的高考高分的目标将很难实现。期待我们的课堂教学回到基础知识和基本数学思想的舞台，远离枯燥乏味的题海战术，课程标准提出的提高所有学生数学素养的要求一定会达到。

参考文献：

[1][美]丹尼尔·平克.全新思维.北京师范大学出版社，2006，6.

[2]M.克莱因.数学：确定性的丧失.湖南科学技术出版社，2001，7.

[3]章建跃.中学数学核心概念结构体系及教学设计研究与实践.课题中期研究报告.