二次函数综合题之解题策略

摘 要： 二次函数综合题难度大、综合性强、内涵丰富、涉及的知识面广，是初中数学中最重要、最核心、纵向和横向联系规模最大的内容之一.要解决好此类题目需要有扎实的基础知识，较强的分析、演算、理解能力，因此是近年来各地中考命题的重点和热点，引起人们的广泛关注.它主要以压轴题的形式出现，本文列举几例，探究二次函数综合题的解题策略.

关键词： 二次函数 综合题 解题策略

二次函数综合题难度大、综合性强、内涵丰富、涉及的知识面广，是初中数学中最重要、最核心、纵向和横向联系规模最大的内容之一.要解决好此类题目需要有扎实的基础知识，较强的分析、演算、理解能力，因此是近年来各地中考命题的重点和热点，引起人们的关注.它主要以压轴题的形式出现.那么如何正确求解呢？下面从三个方面阐述其解题策略.

一、利用数形结合思想求解策略

利用二次函数图像求极值问题，是近几年各地数学中考试卷中很常见的题型，此类题综合性比较强，涉及的知识较广，可以结合几何图形来解题，实际上二次函数图像本身就是一个图形即抛物线，图像上点的坐标就表示相关线段的长度，点点相连成了几何图形，实现从“数或式”到“形”的转化，这一转化为解题创造了有利条件，而能否熟练地解答，则取决于是否把二者有机结合起来，在解题中充分运用函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法.教师要适当引导学生，使他们消除学习定势对解题思路的阻碍，培养他们利用数形结合解题的技巧和能力.

例1：已知函数y=x+bx+2的图像经过点（3，2）.

（l）求这个函数的关系式；（2）画出它的图像；（3）根据图像指出：当x取何值时，y≥2？

分析：（1）利用待定系数法，可以求出b的值，从而获得函数表达式；（2）根据函数关系式画出函数图像；（3）借助函数图像，由“形”想“数”，要“确定y=2时，x的取值范围“就是要求位于“直线y=2上方”图像的自变量取值范围.

解：（1）根据题意，得2=9+3b+2，解得b=-3.所以函数关系式为y=x-3x+2.

（2）易求该抛物线与x轴的两个交点坐标为（1，0），（2，0），与y轴的交点坐标为（0，2），对称轴为x=.函数y=x-3x+2的图像如图1所示.

图1

（3）根据图像可得，当y=2时，对应的x值为0和3.因此，当x≤0或x≥3时，y≥2.

二、利用方程思想求解策略

二次函数图像与x轴分别有两个交点、一个交点和无交点时，该函数所对应的一元二次方程根的判别式分别是：△>0，△=0和△<0.要判定△的值的情况，往往要将函数y=ax+bx+c（a≠0）右边配方成完全平方式去确定交点个数.由此可见两者关系非常“密切”.在思路上要分清：方程与△值，函数与x轴交点，△值与x轴交点之间的关系.而当二次函数y=ax+bx+c（≠0）中y=0时，二次函数就转化为一元二次方程ax+bx+c=0，根据一元二次方程根与系数关系可以求出二次函数与x轴两个交点间的距离.

例2：如图2，一元二次方程x-3x+2=0的两根x、x（x

（1）求此二次函数的解析式；

（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和Q的坐标；

（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标.

分析：（1）求出方程的两个根，就相当于知道了B，C两点的坐标，进而由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法，很容易求出二次函数的解析式；（2）要求交点Q的坐标，只要将该抛物线的“对称轴方程”与“直线AC的解析式”联立得方程组，解这个方程组就可得到；（3）要求“MQ+MA”的最小值时，只需作点A关于x轴的对称点即可，用对称性及“两点之间线段最短”的几何知识加以解决.

图2

解：（1）解方程x-3x+2=0，得x=-3， x=1.所以抛物线与x轴的两个交点坐标为C（-3，0），B（1 ，0）.

将A（3，6），B（1，0），C（-3，0）代入抛物线的解析式，求得a=，b=1，c=-.所以抛物线解析式为y=x+x-.

（2）由y=x+x-y=（x+1）-2，得抛物线顶点P的坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1.设直线AC的函数关系式为y=3k+b， 将A（3，6）、C（-3，0）代入，求得k=1，b=3，所以直线AC的函数关系式为y=x+3.而Q点是抛物线的对称轴与直线AC的交点其方程为x=1，两方程联立方程组，解得x=-1，y=2，所以点Q坐标为（-1，2）.

（3）作A点关于x轴的对称点A′（3，-6），连接A′Q，A′Q与x轴交点M即为所求的点.

设直线A′Q的函数关系式为y=kx+b.把A′（3，-6）、Q（-1，2）代入求解，得b=0，k=-2.所以直线A′Q的函数关系式为y=-2x.令x=0，则y=0，所以点M的坐标为（0，0）.

评析：求两个函数图像的交点问题，其实就是求两个函数关系式联立的方程组的解的问题.点与函数图像的关系是，若点的坐标满足函数关系式，则点在函数图像上，反之也成立.本题中的第三问改为“若在y轴上有一动点N，当NO+NA取得最小值时，求N点的坐标”.

三、利用建模思想求解策略

对于有些简单实际问题，可以利用二次函数进行求解.如有关最大利润、用料最省、最低成本等问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一.此类题型要求学生会运用面积法、勾股法、相似法、利润法等建立函数模型，然后利用二次函数的性质解答.这样可以培养学生从数学角度抽象分析问题和运用数学知识解决实际问题的能力.

例3：某商店经销甲、乙两种商品.甲、乙两种商品的进货单价之和是5元，甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元.按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元.问：

（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？

（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件.经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件.为了每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元.在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？

分析：（l）据题意设出未知数，列方程组求解；（2）根据利润=甲、乙两种商品每件的利润×销售数量，转化为二次函数并配方，根据图像性质求得最大利润.

解：（1）设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元.根据题意知x+y=5和3（x+1）+2（2y-1）=19x，两方程组成方程组求得x=2，y=3.

答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元.

（2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为w元，则

w=（1-m） （500+100×）+（5-3-m） （300+100×），

即w=-2000m +2200m+1100=-2000（m-0.55）+1705.

当m=0.55时，w有最大值，最大值为1705.

答：当m值为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元.

综上所述，解答二次函数综合题，总的来讲要冷静分析，缜密思考，耐心梳理，吃透题意，运用二次函数有关性质，同时要善于据题意采取有关数学思想：如方程的思想、数形结合思想、建模思想等，确定解题策略，并正确求解.

参考文献：

[1]王赛英.新课程理念下中考“压轴题”的解题思路「J].数学通报，2005（02）.

[2]董玉成.我国当代中学函数教育特征研究[D].华东师范大学，2007.

[3]李如锦.中考数学压轴题解法指导（一）[J].中学生理科月刊，2000（Z1）.