基于认知负荷理论，优化学生数学学习

一、两次设计教学片段

1.第一次设计教学片段。

（带领学生阅读勾股定理史，进一步了解我国古代对勾股定理的研究情况。）

【活动1】

问题1：你能写出多少组勾股数？请尽可能多地写出来。

（3分钟后，学生基本能写出5组左右，请2名学生上黑板书写找到的勾股数。）

生1：（3，4，5），（6，8，10），（5，12，13），（7，24，25），（8，15，17）。

生2：（4，6，7），（9，12，15），（10，24，26），（11，60，61），（12，16，20），（15，36，39）……

（生2在书写的过程中，我发现（4，6，7）不是一组勾股数，于是提问：生2的书写是否一定是勾股数？）

生3：（4，6，7）不是勾股数。

师：为什么？

生3：因为42+62≠72。

师：生3说得很好。生1写的5组都是勾股数吗？怎么判断？

生4：只要判断2个数的平方和是否等于第3个数的平方就可以了。如：82+152=172。

师：这种说法对吗？

生5：应该计算较小的两个数的平方和，看是否等于最大的数的平方，如果相等就是勾股数，否则就不是。

师：有没有简便的方法呢？比如，我们要判断（20，99，101）是否是勾股数，用生5的方法就显得麻烦了。

（学生沉思，没反应。）

生6：可以用平方差公式，比如：1012-992=（101+99）×（101-99）=400=202，所以（20，99，101）是一组勾股数。

师：很好。显然生6的方法更简便，尤其是遇到数据很大的时候。

（师生合作把生2写的所有数组进行检验。）

问题2：探索问题1中勾股数的规律。

（安排学生独立思考3分钟，然后4人小组进行交流。）

生7：设勾股数中的最小数a为奇数时，最大的数就比较大的数大1，即c=b+1，并且这3个数没有公约数。比如，（15，36，39）是不符合这个规律的。

生8：设勾股数中的最小数a为奇数时，则a2=b+c。也发现（15，36，39）是不符合这个规律的。

师：那么这些公约数不为1的勾股数组有什么规律呢？

生9：可以将它们都约去这个公约数，然后就和公约数为1的那些勾股数一样了。如（15，36，39）可以看成将（5，12，13）的每个数乘以3得到的。

师：那我们就可以把这些数去掉不予研究了。接下来继续分小组研究这些勾股数的规律。

（3分钟后，学生又有新的想法了。）

生10：当a为奇数时，则c=b+1，a2=b+c；当a为偶数时，则c=b+2，a2=2（b+c）。

（活动1的探究使用了33分钟，然后出示活动2。）

【活动2】

师：大家探究得不错，请再来思考另一个问题。设（a，b，c）为一组勾股数（a

（1）当a=2n+1（n为正整数）时，请给出计算勾股数的一组公式。

（2）当a=2n（n为正整数且n>1）时，请给出计算勾股数的一组公式。

（学生独立思考4分钟后，没有什么学生举手。）

（教师安排3名学生回答，都表示不会，又过了3分钟，通过师生共同探究后有学生举手发言。）

生11：（1）（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1）；（2）（2n，n2-1，n2+1）。

（至此，一节课的时间已经结束了，但本节课设计的教学内容才完成了一半。）

2.第二次设计教学片段。

介绍勾股定理史。（同第一次设计。）

【活动1】

问题1：勾股定理的内容是什么？

生1：直角三角形的两条边的平方和等于第三边的平方。

问题2：在数学史上，有许多数学家专门研究过一类数，这些正整数（a，b，c）满足关系式a2+b2=c2，满足这样关系的正整数（a，b，c）叫做勾股数。

问题3：你能写出多少组勾股数？请尽可能多地写出来。（课前布置学生每人快速写出15组，并判断是否是勾股数，课堂中直接进行交流。）

生2：（展示写出的勾股数）（3，4，5），（6，8，10），（9，12，15），（12，16，20）……

师：你怎样不使用计算器很快写出这15组勾股数的？

生2：是把（3，4，5）分别扩大相同的倍数得到的。

师：为了便于研究勾股数，对于相同整数倍的勾股数，研究时只选择最小的那一组。下面请大家来重新选择一些符合刚才特点的勾股数。

生3：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（8，15，17），（11，60，61），（16，63，65），（20，99，101）。

师：验证这些数组是否为勾股数，有简便方法吗？

生4：可以用平方差公式。

师：平方差公式使用起来会更简便，尤其是遇到数据很大的时候。

问题4：探索问题1中勾股数的规律。

（安排学生独立思考3分钟，然后4人小组进行交流。）

生5：我们小组发现：当a为奇数时，则c=b+1，a2=b+c。

生6：当a为偶数时，则c=b+2，a2=2（b+c）。

师：看来，我们可以从奇数、偶数的角度去研究。请看活动2。

【活动2】

设（a，b，c）为一组勾股数，填表：

（2分钟后学生就完成表格填写。）

生7：表1中依次填写40，60，61；表2中依次填写35，48，50。

师：现在大家基本了解勾股数的特征了，请继续完成活动3、4的内容。

【活动3】

（1）在表1中，a为奇数，正整数b和c之间的数量关系是________，b、c与a2之间的关系式是____________。根据以上规律，写出勾股数（13，____，____）。

（2）一般地，当a=2n+1（n为正整数）时，请给出计算勾股数的一组公式。

生8：（1）c=b+1，a2=b+c，84、85；（2）（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1）。

【活动4】

（1）在表2中，a为偶数，正整数b和c之间的数量关系是________，b、c与a2之间的关系式是____________。根据以上规律，写出勾股数（16，____，____）。

（2）一般地，当a=2n（n为正整数且n>1）时，请给出计算勾股数的一组公式。

生9：（1）c=b+2，a2=2（b+c），63、65；（2）（2n，n2-1，n2+1）。

师：生8、生9回答都不错，刚才我巡视时，看到大家都能正确完成活动3、4的内容。其实勾股定理是借助直角三角形研究三边之间的数量关系的，对应地，我们也可以进一步从空间的角度来探究这样的关系是否成立。请看活动5。

【活动5】

如图1，已知四边形ABCD是矩形，AC为对角线，则有AB2+BC2=AC2，即AB、BC、AC满足勾股定理。

如图2，ABCD-A1B1C1D1是长方体。图1中的线段AB、BC、AC分别对应图2中的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1。若长方体的面ABB1A1、面BCC1B1、截面ACC1A1的面积分别用α、β、γ表示，则是否有α2+β2=γ2成立？请说明理由。（由于本题涉及立体几何的知识，学生在思考时有些障碍，因此，课堂中安排学生进行小组交流。）

生10：α2=（AB·BB1）2=AB2·BB12，β2=（BC·BB1）2=BC2·BB12，γ2=（AC·BB1）2=AC2·BB12。因为AB2+BC2=AC2，且3个矩形都等高，所以α2+β2=γ2成立。

师：在分析问题时，我们通常把各个部分的值表达出来，然后继续研究表达式之间的关系，从而有效地分析、解决问题。

……

二、前后教学情况对比

1.教学程序设计不同。

第一次设计，没有考虑学生已有认知结构的不足，直接给出问题2，导致大多数学生不知道从哪里探索；调整后，首先探究特殊情况下的勾股数的特征，然后再研究一般情况下的勾股数的特征。这样设计有助于提高探索的效率，更重要的是让学生通过探索感悟出一般的研究思路与方法。

2.教学效果存在差异。

在第一次教学过程中，大多数学生探索的热情没有被激发，并且没有完成事先预定的教学任务；而在第二次教学过程中，学生特别积极，参与度明显提高，教学的主体任务基本完成，教学效果也达到了预期目的。

三、教学反思

认知负荷理论告诉我们：人的工作记忆的容量是相当有限的，只能同时处理72个信息组块，而且在工作记忆系统内的信息的保持时间较为短暂，从而决定了人的认知资源总量是有限的。由于大部分信息的加工都需要认知资源，于是就产生了认知负荷。认知负荷是指某种信息材料在心理加工过程中所需要的认知资源的总量。斯威勒的认知负荷理论认为：有限的工作记忆容量，使人们很难同时加工多种来源的信息；知识以图式的形式存储于长时记忆中，图式建构后能通过实践进一步自动化，图式建构能降低工作记忆的负荷；当某种知识（或图式）含有多种相互作用的元素时，这些知识将加重认知负荷。

认知负荷理论提出了3种基本类型的认知负荷：内部认知负荷、外部认知负荷和相关认知负荷。内部认知负荷取决于所要学习材料的本质与学习者的专业知识之间的交互程度；外部认知负荷是超越内部认知负荷的额外负荷，它主要是由设计不当的教学引起的；相关认知负荷是指与促进图式构建的图式自动化过程相关的认知负荷。所以，外部认知负荷和相关认知负荷都直接受控于教学设计者。3种类型的认知负荷是相互叠加的。

1.优化教学活动设计，减轻外在认知负荷。

从2节课的教学录像可以看出：第二次的教学设计更科学、合理，5个主体探究活动逐渐加难，相互之间联系紧密，一环扣一环，设计中关注了学生的认知结构，有效减轻了因外在因素而出现的学生认知负荷。

教学设计中，尤其是难度较大的教学内容的设计，需要教师从多角度、多纬度去分析、思考，不断优化教学设计，帮助学生减轻人为增加的负担，这样的教学设计才会受到学生的欢迎。

2.延长探究活动时间，降低内在认知负荷。

实际教学中，预设与生成往往不是相辅相成的，经常会出现新的情况。如第一次教学片段中的学生2，写出了15组勾股数，其中一组是错误的；第二次教学片段中，在学生4回答问题之前，许多学生陷入思考的僵局，等等。

由于综合与实践活动的探究难度大，涉及的综合性知识多，有时学生在某一个方面有所欠缺，就会出现思维障碍。这就是学生自然存在的内在认知负荷。在平时教学中我们也会遇到一些突发性的、没有预料到的问题，有些甚至是不能立即就能有效解决的。此时，需要教师睿智地加以安排，可组织学生进行小组交流，给学生有足够的教学时间、空间，或适当降低探究问题的难度，或给出一点启发，等等，这些措施都有助于降低学生的内在认知负荷，从而使探究活动得以有效开展。

3.扩展活动设计类型，促进学习有效迁移。

第一次教学设计中也安排了扩展、延伸内容，但由于前面活动探究的时间多了，导致后面的拓展活动没有时间去研究。第二次教学设计中考虑到学生的认知情况，并铺设一定的台阶，探究效果较好，因此，拓展活动就有了足够的时间与空间。在课外的探究作业中，笔者设计了上网查询“费马大定理”的探究作业。此举提醒学生关注一些重要问题、重要结论的探究，激发学生的探究热情，拓宽学生的视野。

随着学生学习知识的不断增加，出现一些认知负荷属于正常现象。为了有效减轻学生的认知负荷，需要教师在教学设计、教学研究等方面不断开展探索活动，不断提升自己的专业发展水平，不断提高教学效率。

（作者单位：南京市第三十九中学）