深化知识经验 实现自主复习

教学目标：

1.创设情境，激发学生从知识经验中提取有关函数的基础知识，进行整合和深化，实现自主复习；

2.在学生自己提出问题、解决问题的过程中，体验自主复习的方法和成效。

教学过程：

一、研究A、B两点可能在哪类函数图象上，复习三类函数的基本知识

师生共同回顾初中阶段学过的三类函数：一次函数y=kx+b（k≠0），反比例函数y=（k≠0），二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）。

师：现在在这个平面直角坐标系中，已知A和B两点，A点的坐标是（1，3），B点的坐标是（3，1），这两个点有可能在哪一类函数的图象上？

生：三种函数都有可能。

在教师的引导下，学生把A、B两点的坐标代入解析式中，得到关于k、b的方程组。解得k=-1，b=4。设这个函数解析式为y1=-x+4。学生还发现：因为反比例函数的解析式可以变形为xy=k（k≠0），而这两点横纵坐标的积相等，都等于3，可以判断它们都在反比例函数y2=的图象上。

教师画出大致图象，再次追问学生：设直线AB和x轴、y轴分别交于M、N两点，那么，点A、B和M、N、O中哪几个点能确定一个二次函数的图象？

在教师的启发、点拨下，学生研究发现：二次函数的图象是一条抛物线，它与一条直线最多只有两个交点，共线的三点不可能都在同一条抛物线上。

师：那么，A、N、O三点为什么不能确定一条抛物线？（学生小组讨论。）

生：因为点N和点O的横坐标是相等的，如果它们在同一条抛物线上，同一个x的值就对应了两个y的值，就不符合函数的定义。

师生共同研究发现：A、B、O三点所确定的抛物线的开口向下，a为负数；对称轴在y轴的右侧，方程是x=-，a、b异号，所以b为正号。顶点的横坐标为-■，纵坐标为■。因为抛物线与x轴有两个交点，所以△>0。画抛物线的大致图象，首先要确定抛物线的顶点，然后确定它的对称轴，再确定抛物线和x轴的交点。要求抛物线的解析式，就要把三点坐标代入解析式，得到一个三元一次方程组。过A、B、O三点的抛物线解析式为y3=-x2+x。

教师画出图象：

二、学生阅读图象信息，根据已掌握的知识，推出新信息

师：这幅图中提供了很多信息，图象有了，解析式有了，图象之间的交点也有了，图象和坐标轴的交点也有了，认真地观察一下，你从现有的信息中还能推出哪些信息？小组中相互交流一下，可能你获得的信息与别人的不一样。

生1：当y1>y2时1y3时，x<1或x>3；当y2>y1时，x<1或x>3。（并板书。）

生2：连接AO、BO，就可以求出△AON、△BOM、△AOB的面积。（并板书。）

生3：MN=4，AB=2，∠OMN和∠ONM是45°。（并板书。）

师：他们写出了这么多信息，正确吗？严密吗？除了这些信息，你还能得到其他信息吗？（小组议论。）

师：∠OMN和∠ONM是45°，正确吗？

生：正确。因为OM=ON。

师：为什么OM=ON？

生：一次函数解析式中令x=0和y=0，分别求出OM、ON的长度。

师：很好，通过这个方法可以得到：①点M、N的坐标；②OM=ON=4；③△MON是等腰直角三角形。

生：我们还可以比较三个函数函数值之间的大小关系：（并板书。）

当x<1时，y2>y1>y3；

当x=1或3时，y2=y1=y3；

当1y1>y2；

当x>3时，y2>y1>y3.

师：好的。因为三个图象交于同一点，所以我们就以这个点来分界，分别过两个交点作x轴的垂线，以这两条直线为分界来研究，但得不到满分，有谁来完善一下？

生：因为图中的双曲线的一支在第一象限，所以要加“当0

师：刚才又说可以求出△AON、△BOM、△AOB的面积，怎么求呢？

生：因为点A在反比例函数图象上，所以△AON的面积是×（1×3）。

另一学生：不对！

师：为什么？

生：必须是过点A作x轴或y轴的垂线段，垂足与点A、O形成的三角形的面积才等于。

师：对了。反比例函数上任意一点向横轴或纵轴分别作垂线段，围成一个直角三角形或者一个矩形，它们的面积都是与k有关的。矩形的面积等于k，三角形的面积等于■。

师：那么△AON的面积该怎样去求呢？

生：过A点作y轴的垂线段。取ON作底边，尽可能选在坐标轴上的边作为底边，ON=4，这条边上的高就是另一个顶点A的横坐标的绝对值。

三、学生以已获取信息为已知条件，制作新命题，检验对已学知识的掌握水平和应用能力

师：以这些研究的内容为条件，我们能不能解决其他的问题呢？我们还能提出哪些可求解的问题？

（学生将提出的问题板书后全班讨论）

生：△AON和△BOM是否全等？

师：问得很好，有了OM=ON，∠ANO=∠BMO=45°，是不是就全等了？

生：N的坐标是（0，4），M的坐标是（4，0），A的坐标是（1，3），B的坐标是（3，1），能得到AN=BM。

师：好的。两个三角形全等后，OA=OB，B点就在以O为圆心、OA长为半径的圆上。

生：那么，△AON、△BOM位置关系怎样？

师：你为什么想到它们的位置关系？

生：既然△AON与△BOM全等，那么作直线y=x，点A、B，点M、N都关于直线y=x对称，点O也在直线y=x上，所以这两个三角形关于直线y=x对称。

师：说得非常好，我们能学到这个程度才真正把知识盘活了。△BCM与△NAO是否相似？

生：首先觉得这两个三角形形状比较像，但算出边长不对应成比例，所以不相似。

师：很好。非常深刻。观察的结果可以为我们提供命题，但这个命题可真可假，如果是真命题必须推理论证，如果是假命题，只要举出一个反例。

师：我现在还有个问题，我们把直线y1=-x+4、双曲线y2=、抛物线y3=x2+x沿着y轴方向向下、向左平移1个单位长度，平移后的解析式各是什么？

师生讨论后，教师依次板书：

师：我再提个问题：抛物线y=-x2+x上有点P（1，yP）和Q（2，yQ），怎样比较yP与yQ的大小关系？你们猜猜，我为什么要提这个问题？

生：要研究二次函数的增减性。

师：研究二次函数的增减性，要注意什么？

生：对称轴。

师：对！必须在对称轴同侧研究。能解决这个问题的人来说说看。

生：抛物线的对称轴是x=，A点坐标（1，3），作点A关于对称轴的对称点A′，那么这两点到对称轴的距离相等，所以点A′的坐标是（■，3）。因为点Q的横坐标是2，■>2，在对称轴右侧y随x的增大而减小，所以Q点的纵坐标大于A′的纵坐标。

师：很好。再看一个问题：双曲线y=上有点E（-2，yE）、F（-4，yF）、G（2，yG）、H（，yH），比较yE、 yF、 yG、 yH的大小。这题的意图是什么？

生：研究反比例函数每一支的增减性。

师：很好！反比例函数的增减性必须在同一象限内研究，二次函数的增减性必须在对称轴同侧研究。

教师引导学生观察图象特征，发现在第一象限图象是下降的，从数的角度看y随x增大而减小，在第三象限，y也随x增大而减小，但第一象限内函数值为正，第三象限内函数值为负。

师：今天无论是提出问题还是解决问题，都利用了函数的解析式、性质，研究问题的时候都没有离开图象，没有离开自变量的取值范围。把这些知识用表格的形式整理一下，需要哪些内容？

生（齐）：需要函数的名称、图象、性质。

师：我们得到这样的表格：

师：今天研究的问题中比较难的是图象的平移，书本要求直线、双曲线、抛物线会上下平移，平时学的时候拓展到左右平移，现在我们总结一下：

我们不能死记，要弄清楚道理，使用时还要注意灵活，比如把抛物线y=x2+x+2，向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到的图象的解析式是什么？

如果改成：把已知抛物线向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到y=x2+x+2，要你写出原抛物线的解析式，你能写吗？

生：能！就是y=（x+1）2+（x+1）+1

师：所以脑筋要活。今天关于函数的第一轮复习就结束了，这些知识是从你们的知识储存中提取出来的，这时的知识不是静态的，而是活的知识，面对新的问题大家能想到这些知识，它们是我们解决函数综合题的基础。

同学们今天的第一个课外作业，就是继续思考利用函数的性质还可以提出哪些问题，并想办法自己解答这些问题；第二个课外作业，就是用适当形式系统整理函数的基础知识。

（作者单位：江苏省南通市启秀中学）