为学生构建思维发展的空间

【摘 要】在新课程的实施过程中，人们最为关注的一个问题就是关于评价的改革，尤其是升学考试的改革。由于开放性试题是考查学生分析问题和解决问题的能力及创新意识的良好载体，因而成为中考热点之一。因此，在平时的教学中，尤其是中考复习时，教师要注意这类题型的编写和训练，以利于学生自主探索、合作与交流，为学生的发展创造一种宽松的环境。

【关键词】开放性习题 多元化 层次性 开放度

所谓开放性习题，是指教师提供问题的条件，其结论由学生根据相应的条件开展自我探索；或者是教师提供问题的结论，其条件由学生自主研究；或者是教师对提供的条件以及结论作某种改变，要求学生自行推断原先提供的条件及结论所发生的相应变化。开放性习题不但利于激发学生探究知识的热情，而且更能有效地培养学生的思维能力。

开放性习题一般具有结论不确定、不唯一，条件约束不呆板等特点，它往往要求学生转变聚拢性思维的定势，开展发散性思维，是发展学生个性、鼓励学生创造发明的有效途径。因此教师在平时教学过程中要锐意改革、大胆探究，不断在调查、分析学情的前提下，有意识地编写一些符合学生认知规律的开放性习题，让学生在教师的引导下，充分发挥主观能动性，进而在协商学习中成为挑战未来的创造型人才。那么，怎样编写开放性习题呢？

一、编写开放性习题要依标据本

现行教材中的例题和习题都是根据数学课程标准要求编写的，具有不同年级教学的个性特点。因此，理解掌握课程标准的理念和内容是我们编写开放性习题的依据。数学课程标准指出“数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习”。可见，教师在编写开放性习题时不仅要紧扣课本和课标，还要符合学生认知规律，贴近学生实际。由于中考试题总体上呈现“源于教材又高于教材”、“灵活多变，旧题新出”的特点，这就传递了一个信息：无论是新授课还是复习课，教师应该挖掘教材中典型例题、习题的教学功能，重视数学模型的建立和问题解决的思考方法，使学生触类旁通。就此而言，教师可采取“拿来主义”，以课本中有关例题和习题为基础，通过教者变换求解角度，即对某个条件或结论进行新包装，马上就如投一石激起千层浪，使学生思维产生新的变异。

例如：已知直线l及同侧两点A、B，在直线l上求一点P，使PA+PB最小。该题渗透运用图形轴对称“化折为直”的模型思想。现将此题的条件、结论作重新包装。如图1，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A（1，0）、B（-3，0）两点，交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，试说明理由。

通过对课本例题、习题的改造，不但有利于学生巩固所学知识，而且还有利于学生思维向纵深发展。

二、编写开放性习题要注重知识的多元化

数学开放性习题的显著特点在于某些要素的不确定性，它的条件、解题策略、结论常常要求学生在问题情景中自行设定和寻找。因此，编写开放性习题要具有综合性，要能融合学生所学知识的各个领域，便于检查学生综合理解能力和数学思维能力。

例如：在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在图2中按下列要求画图。

（1）从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在网格上，且长度为。

（2）以（1）中的AB为边的一个等腰△ABC，使点C在格点上，且另两边长都是无理数。

（3）以（1）中AB为边的两个凸多边形，使它们都是中心对称图形，且不全等，其顶点都在格点上，且各边长都是无理数。

上述例题要求学生在原有简单思维的基础上，向复杂思维飞跃，此题包括代数中的根式、无理数与几何中的勾股定理、等腰三角形、四边形和中心对称等方面的知识，体现了数形结合的数学思想，本题（2）（3）小题答案均不唯一，具有一定的开放性，其中第（3）小题的开放度较高。尽管此题有一定的难度，但只要学生能在辐射思维的前提下，对这些知识加以综合性思考，并能有规律地加以讨论推敲，就能达到“柳暗花明”的胜境。

三、编写开放性习题必须具有层次性

发展学生的思维，培养学生的创新能力，不能只针对少数优等生，而应该面向全体学生，以求人人都能显示创造力，因此，教师编写开放性习题时，可以通过设计问题串，引导学生步步深入，层层递进，逐步发现数学规律，这样可以使习题具有较高的层次性，使不同层次的学生都能得到充分的展示，体现了数学课程标准所提出的“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”的理念。

例如：（1）如图3，AD是圆的直径，L是经过点D的切线，B、C是直线L上的两点，AB、AC交圆于E、F，求证AE·AB=AF·AC。

（2）在（1）题中若将直线L向上平移与圆相交，如图4，那么上述等式是否成立？为什么？

本例的第（1）问几乎所有的学生都能顺利地做出正确的证明，而第（2）问则是第（1）问的延伸，只要学生从图形的内在联系及条件的变化规律去探索，多数学生是能够做出正确判断的。通过此题的解答，学生经历了数学结论的探索、发现、验证与应用的过程，这样使学生体会到数学的奥妙与价值。

四、编写开放性习题要把握好开放度

教师在编写开放性习题时，无论题目的内容、形式，还是题目的难易度，都要把握好开放度，若编写的问题过于容易，则失去编写意义；若编写的问题难度过大，则势必使学生望而生畏，无所适从，这样会使学生失去学习数学的信心，其思维能力必将会受到遏制。为此，我们在编写开放性习题时，要做到脑中有标准，眼中有学生，胸中有教材，所编写的习题要像挂在头顶上的果实，让学生跳一跳就能摘到。

如图5所示：AC是四边形ABCD的对角线，BM垂直AC于M，DN垂直AC于N，要使四边形DNBM恰好形成平行四边形，则四边形ABCD应具备什么样的条件？试提出你的猜想并写出证明过程。

此题并不太难，笔者原以为学生学习了平行四边形的有关知识后，只需略加思索就能加以解决，但结果令人大失所望。究其原因，关键是“度”没掌握好。这种题目看起来很简单，其实不然，它不但蕴含复杂的思维过程，而且具有一定的难度。因此教师编写开放性习题必须始终站在学生的立场上，一切从有利于学生主观发展的角度出发。

编写开放性习题的方法还有许多，但笔者认为，在编写开放性习题时，应注意问题情景的新颖性和探究性，同时还应注意把握好问题的层次性和开放度，为学生构建广阔的思维空间，力求引导学生进行“多方面、多角度、多层次”的探索。

（作者单位：江苏省高邮市菱塘民族初中）