灵动的课堂，本真的数学

【课堂实录】

一、创设情境，导入新课

教师投影幻灯片展示图1，并提出以下问题：

问题1：图中共有几个角？对于△ABC来说，这些角该怎样称呼呢？

生A（略带迟疑地）：图中有4个角：∠A、∠B、∠ACB、∠ACD，其中∠A、∠B、∠ACB是△ABC的三个内角，∠ACD，不知道，好像没学过。

生B（充满自信地）：我想∠ACD应叫做外角，因为∠ACD在△ABC的外面，那当然叫做外角啦！（全班学生笑）

师笑容可掬，故作延迟判断状，因为还有一只只手举着要争相发言呢。

生C（语无伦次地）：我也给∠ACD起名为外角，但生B的理由我不同意，我不会说，但我会画。

接着生C在黑板上画出图2、图3，并指出图2中∠1不是外角，用于反驳生B的观点，而图3中∠1～∠6都是△ABC的外角，用于直观感知外角的概念。

师（觉得介入的时机成熟了）：同学们很有创意，特别是生C的理解非常到位，∠ACD确实叫做△ABC的外角（板书课题）。那么，同学们能否在生C的理解基础上进一步给出三角形外角的定义呢？

在学生“悱愤”心理的认知冲突下，经教师点拨，共同概括出三角形的外角的定义。

二、合作探究，发现定理

师继续抛出问题2：在图1这4个角中，试找出它们之间存在的数量关系，你能找到几个不同的数量关系呢？

生D（迫不及待地）：我找到两个关系式：一个是∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形的内角和为180°），另一个是∠ACB+∠ACD=180°（一个外角与相邻的内角互为邻补角）。

师（由衷地点头）：很好，生D不仅找出了角之间的数量关系，而且还将彼此间的位置关系描述了出来。他发现了三个内角之间的关系，以及一个外角与相邻内角的关系。还有没有其他的数量关系呢？或者说，是否还缺了哪一种情形的位置关系没有研究呢？

教师总结时，下意识地将加点字的语气加重，以引起学生的有意注意。

众生（心有灵犀地）：还有一个外角与不相邻的内角之间的关系没有研究。

师顺水推舟地再抛出问题3：那么外角∠ACD与不相邻的内角∠A、∠B之间有怎样的关系呢？试探究。

为了提高探究性学习的有效性，教师采用小组合作交流的形式，并引导学生围绕以下两个核心问题展开：①能够将∠ACD与∠A、∠B联系起来的纽带是哪个角？②解决问题的方法通常有观察、实验、测量、操作、验证和推理等，你打算用什么方法解决这个问题？

由于设计了核心问题，就为学生的探究搭建了“攀爬”的平台，再加上问题本身难度不是很大，学生只要“跳一跳”，就完全能“摘到桃”，因此小组讨论非常热烈，气氛空前高涨，解决问题的方案层出不穷，令人大饱眼福。以下是各小组代表依次上台展示该组的交流成果。

生E（胸有成竹地）：我们小组通过推理一致认为∠ACD=∠A+∠B。我们找的∠ACB就起到将∠ACD与∠A、∠B联系起来的纽带作用。因为一方面∠ACB=180°-（∠A+∠B），另一方面∠ACB=180°-∠ACD，所以180°-（∠A+∠B）=180°-∠ACD，即∠ACD=∠A+∠B。

生F（从容不迫地）：我们也发现了∠ACD=∠A+∠B，不过我们是通过实验操作得来的。具体地讲，将图1画在白纸上，记∠A、∠B、∠ACB、∠ACD依次为γ、α、β、χ，如图4所示剪下∠A、∠B与∠ACD，然后将∠A、∠B一起拼到∠ACD上（如图5），发现∠A、∠B的和恰为∠ACD。

生G（忸怩地）：我们小组也是将图1画在白纸上，用量角器度量了∠A、∠B与∠ACD的度数，量得∠A=71°，∠B=63°，∠ACD=135°。发现∠ACD>∠A，∠ACD>∠B，∠A、∠B的和近似地等于∠ACD。

生H（昂首挺胸地）：我们小组是用逻辑推理论证了∠ACD=∠A+∠B，只要过点A作AE∥BC（如图6所示），这样∠B=∠1，∠BAC+∠B即为∠EAC，而∠EAC=∠ACD，因此∠ACD=∠A+∠B。

生I（有感而发）：我受生F和生H的启发，过点C作CE∥AB（如图7所示），则∠A=∠1，∠B=∠2，于是∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B。

“老师，还有过点B作AC的平行线……”

“老师，还有在BC上任取一点E，过E分别作AC、AB的平行线……”

……

【几点思考】

一、灵动的课堂需要学生能全面深刻地参与到数学活动中

在数学课堂中，学生参与数学学习的意愿、能力和程度对学习目标的达成具有基础性地位。如果说参与的广度是保证学生的参与面，那么参与的深度则是要求学生参与有价值的数学活动。本节课的教学，以人为本的教学理念一览无余，在课堂上，教师始终抓住“三角形外角的概念及其性质”这一主线展开教学，设置的开放性问题貌似简单，实则富有弹性，极具挑战性，这符合学生的心理特征和认知规律。同时，教师在课堂上给学生留有足够的思维空间，让学生对问题有深度思考，然后通过语言表述形成思维争辩，从而提高学生的思维层次。而反思我们平时的教学效果，往往是教师教得苦，学生学得累，数学成绩上不去。因为教师往往在知识上拔高教学要求，在思维上降低要求；在课堂上往往降低思维空间，设铺垫、细分析，把计划与决策揽给自己，把细节与计算留给学生，甚至在课堂上出现大量的“是不是”“对不对”等无效提问，这些做法无疑是与以培养学生创新能力为核心的教育价值观背道而驰的。

二、本真的数学需要教师在课堂中关注“数学本质”

关注“数学本质”，就要让学生“数学地思考问题”。具体地说，就是让学生学习思考和解决问题的数学观点和思想方法，积累数学知识和活动经验，这些无疑是学生终身学习的宝贵财富。该课例的成功之处在于教师抓住了初中学生求知的好奇心和好胜心，在学生“最近发展区”上设置“障碍”，激发了学生的学习兴趣和学习内驱力，引起了学生的高度关注，继而在课堂上产生了一连串精彩的回答。这些都体现了学生的聪明才智，也彰显了教师“急中生智”的教学智慧。像这样的精彩生成得益于平时营造的和谐宽松的学习氛围，“约束”少了，学生的思维就“自由奔放”了，就更容易擦出“思维的火花”。可见，在数学课堂教学中，教师应充分关注学习内容的数学教育价值、地位和作用，关注这些知识是怎样形成和发展的，其中蕴含了哪些数学思想方法等。而反思我们平时的教学，教师分析教学内容往往只见树木，不见森林，不是从数学整体上分析当前的学习内容，而是就当前的学习内容来分析学习内容，教师难以形成一致的、稳定的教育价值追求。

《义务教育数学课程标准》指出：“数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。数学学习的主题应当是基本的、重要的数学观念，数学思想方法和数学活动，而不是单纯的数学事实。”为此，我们教师有必要再次学习《数学课程标准》，全面、深刻、正确地理解和把握其精神实质，认真研究教材内容和学生的认知特点，精心设计教学过程，最大限度地激起学生的认知冲突，让数学课堂灵动起来，让数学的“本真”之花绽放。

（作者单位：江苏省无锡市安镇中学）