增强数学与生活的关联,凸显数学的文化价值

2013-12-29 00:00:00吴锷
江苏教育·中学教学版 2013年4期

【摘 要】数学教学不仅要着眼于数学的应用价值,更要着眼于数学的思维价值和文化价值。“函数的单调性”教学设计,体现了数学来源于生活而又服务于生活的意识,把丰富的生活感知和数学理性有机融合起来,让学生感受到生活中有数学。“函数的单调性”是对函数图象特征的一种数学描述,它经历了由图象直观感知到自然语言描述,再到数学符号语言描述的进化过程,这个过程充分反映了数学的理性精神。

【关键词】函数单调性 文化价值 理性精神

《普通高中数学课程标准(实验)》明确指出:“数学是人类文化的重要组成部分,构成了公民所必须具备的一种基本素质。”数学教学不仅要着眼于数学的应用价值,更要着眼于数学的思维价值和文化价值,这样才能深入到数学的教育形态,实现数学的教育价值。我们的数学教育一直强调培养学生解决问题的能力。但要注意的是对这一能力的理解不能太狭窄,它不仅意味着解数学题的能力,或者将实际问题转化为数学问题来处理的能力,而且还应当包括善于用数学思维方式去考虑问题、处理问题的能力,对学生今后的生活和工作来说,后者往往比前者更为重要、更能发挥作用,我们所讲的数学的文化意义其核心也就是数学的观念、意识和思维方式。

所谓数学的观念和意识,也就是人们常说的数学的头脑、数学的素养,准确地说是推理意识、抽象意识、整体意识和化归意识。比如说推理意识,体现了演绎逻辑的可靠性、严谨性和思维方式的广泛性、深刻性,这有助于学生不盲从、有条理、善思辨,在错综复杂的问题面前不被表象所迷惑,而能够透过现象,洞察事物的本质,揭示相互之间的关系,在办事处世时头脑里总有一个条理清晰的树形图,从而能更有效地解决问题。数学教育应当在提高学生的推理能力这一基本的文化修养方面多做一些开拓性的工作,比如教学中的数学问题应走出封闭的体系,改变呆板的单一题型,减少机械模仿,淡化技巧形式,增加探索性、开放性的情景问题的研讨。这是因为,在今后的工作、生活中所遇到的问题往往是开放式的,条件不是不多不少、结论不是标准单一、状态也不是那么清晰,这就要求人们善于筛选、概Dn1RCMntbEWlRoQdaZCaqbVg+F7Y2vh4Ssi3DaL0MSs=括、推理、分析,从而纲举目张。

本文以苏教版高中《数学》必修1“函数的单调性”的教学设计为例,谈谈笔者在平时的教学中是如何渗透数学文化,追求数学本真的。

一、“函数的单调性”的教学设计

“函数的单调性”问题既是学生学过的函数概念的延续和拓展,又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的基础,它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一。从方法论的角度分析,本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法。为此我们通过学生熟悉的实际生活问题引入课题,为学生学习函数单调性创设文化氛围和教学情境,拉近数学与现实生活的距离,激发学生求知欲,调动学生主体参与的积极性,让学生感受学习的快乐和成功的喜悦。基于上述思考,我设计了如下的教学方案。

1.创设情境,揭示课题。

【教学情境1】大屏幕播放波涛起伏的海宁潮,并配诗文解说。

海宁潮,又名钱江潮,自古称之为“天下奇观FrRpmJlWtMrUp60znH54aV86i+k4F5yUNk6BbBuHO3I=”。“八月十八潮,壮观天下无。”海宁潮是一个壮观无比的自然动态奇观,当江潮从东面来时,似一条银线,“则玉城雪岭际天而来,大声如雷霆,震撼激射,吞天沃日,势极雄豪”,潮起潮落,牵动了无数人的心。

同学们,如何用函数形式来表示潮起和潮落?

【教学情境2】教师和学生一起举出生活中描述上升或下降的变化规律的成语。例如,蒸蒸日上、每况愈下、此起彼伏。

同学们,如何用学过的函数图象来描绘这些成语?

(设计意图:海宁潮潮起潮落,把学生带进了美丽的大自然的怀抱;生活中描述上升或下降的变化规律的成语,为学生建立起数学与文化的桥梁,同时巧妙地揭示了本节课研究的主题。从潮起潮落,由成语到函数图象的问题情境,帮助学生用朴素的生活语言描述他们对变化规律的理解,并学会将文字语言转化为图形语言,这样做可使教学过程富有情趣,可激发学生的学习热情,教学起点的设定也比较恰当,学生的参与度较高。)

2.温故知新,建构概念。

【问题1】观察学生绘制的函数的图象(实际教学中可根据学生回答的情况而定),指出图象的变化的趋势。

观察得到:随着x值的增大,函数图象有的呈上升趋势,有的呈下降趋势,有的在一个区间内呈上升趋势,在另一区间内呈下降趋势。

【问题2】对“图象呈逐渐上升趋势”这句话初中学习时是怎样描述的?

例如:初中学习时y=x2,我们知道,当x<0时,函数值y随x的增大而减小,当x>0时,函数值y随x的增大而增大。

回忆初中对函数单调性的解释:

图象呈逐渐上升趋势?圳数值y随x的增大而增大;图象呈逐渐下降趋势?圳数值y随x的增大而减小。函数的这种性质被称为函数的单调性。

(设计意图:学生在函数单调性这一概念的学习上有三个认知基础。一是生活体验,二是函数图象,三是初中对函数单调性的认识。对照绘制的函数图象,让学生回忆初中对函数单调性的描述的定义,并在此基础上进行概念的符号化建构,与学生的认知起点衔接紧密,符合学生的认知规律。)

【问题3】如何用符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性呢?

我们可以用以下方法来进行刻画。如图所示,对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1

【问题4】如何定义单调减函数呢?

可以通过类比的方法给出减函数的定义。

特别要注意的是用“区间I内的任意两个值x1, x2”来刻画一般性,用“当x1

可先让学生讨论,师生共同归纳:单调递增是x与y“共同进退”,单调递减是x与y“此消彼长”。

(设计意图:通过师生双边活动及学生讨论,可以让学生充分参与用严格的数学符号语言定义函数单调性的全过程,让他们亲身体验数学概念如何从直观到抽象,从文字到符号,从粗疏到严密。让他们充分感悟数学概念符号化的建构原则。问题4则要求学生结合图象化单调增函数的定义,通过类比的方法,由学生自己得到单调减函数的概念,在这个过程中,学生可以体会数学概念是如何扩充完善的。)

3.反思质疑,发展思维。

【问题5】怎样利用函数单调性的定义来证明某一函数在指定区间上的单调性。

分析课本第38页例2的证明过程,向学生指出要比较f(x1)与f(x2)的大小,可以转化为判断f(x1)-f(x2)的差的正负来确定,这是转化思想指导下的产物。

师生合作总结规律,证明函数单调性的一般步骤:取值→作差→变形→定号。

请学生思考:(1)判断f(x)在区间(-∞,0)上是增函数还是减函数。

(2)能否说明函数f(x)在其定义域上是增函数?

(设计意图:学生对一个概念的认识不可能一次完成,教师要善于从多个角度,通过概念变式教学和构造反例帮助学生理解概念的内涵与外延。在学习如何证明一个函数的单调性之前,先与学生一起探讨怎样才能否定一个函数的单调性,对帮助学生理解函数单调性的概念尤为重要,可以加深学生对“任意”两字的理解。这样既能帮助学生掌握知识,又能培养学生的质疑精神。)

4.感受成功,激发兴趣。

【问题7】在一碗水中,加入一定量的糖,糖加得越多糖水就越甜。你能运用所学过的数学知识来解释这一现象吗?

(设计意图:从定向性的证明,到自我探+ug/qa1OeYKK3iy+AsLqbmuXoZ0uRkc0aU0cWqpxMZQ=索单调区间完成证明,是一个很大的跨越,但在此探索过程中,学生体会到数学中“数形”的联系和互相验证,体会到成功解决问题的快乐。生活中实际问题的提供体现了数学来源于生活,也应用于解决生活中的问题。通过这个实例,让学生感受学习成功的喜悦,激发学习的热情。)

二、对“函数的单调性”教学设计的几点思考

“函数的单调性”的教学设计,从生活中的实际问题出发,引导学生自主探索函数单调性的概念,应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题,其教学目的就是要让学生在研究和探索的学习过程中,领会数形结合的数学思想方法,达到培养和提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。对于“函数的单调性”的教学设计我们有如下的几点思考,供读者参考。

1.关注实际生活,感悟数学文化。

注重数学与生活的联系是数学教育的重要内容之一,教师在做教学设计的时候要结合教学内容尽可能地创设一些生动、鲜活的生活情景,从学生平时感觉到的事物入手,把生活中的数学原型展现在课堂中,使学生眼中的数学不再是简单的数学,而是富有情感、具有活力的知识,在培养学生数学能力的同时激发学生热爱生活的情感。如引入天下奇观海宁潮以及描述升降变化的成语,让学生感受到了浓浓的文化气息和数学的魅力所在,通过创设一系列的问题,引发了学生进一步学习的求知欲和好奇心。学生在熟悉的情景中,把自己和数学融为一体,在不知不觉中掌握了知识,感悟了数学文化,在生活实践中自觉地应用了数学知识。

2.感受数学直觉,构建数学概念。

教学设计最根本的着力点是“为学习设计教学”, 如果把教学看作是教师带领学生一起去远足,那么学情分析的目的是要分析学生的认知基础,确定一个合情合理的教学起点;“目标导向”是教学设计的关键,教师要分析预期达到的教学效果,即远足所期望到达的目的地,这是教学的根本和核心任务;“知识定位”则好比是教师要预先分析通往目的地的道路状况,从而决定前进的方法和策略;“问题设计”则好比是设计行程,恰当安排可以指引师生高效地向着目的地前行。“函数的单调性”教学设计中,设计问题引发学生思考,调动学生的参与意识,通过直观图形将函数单调性的图形语言转化为数学语言。再由教师指图说明,分析定义,使学生把定义与直观图象结合起来,加深了对概念的理解。

3.追求数学本真,突出思想方法。

数学教学要着眼于数学的思维价值和文化价值,体现数学思想方法。让学生体验数学知识的发生发展过程,应该成为“函数的单调性”这节课的一个重要教学目标。“函数的单调性”的定义是对函数图象特征的一种数学描述,它经历了由图象直观感知到自然语言描述,再到数学符号语言描述的进化过程,这个过程充分反映了数学的理性精神。

“函数的单调性”教学设计,以问题为背景,追求数学的本真,鼓励学生通过活动,结合实验、观察、思考、归纳、抽象、概括、运用,力求使学生对现实世界中蕴含的一些数学模式进行思考和做出理性的判断,鼓励学生更注重应用数学的观念、方法与语言去提出、分析和解决问题。每一个发现总是想方设法尽量让学生得出来,教师的作用是引导,在关键处导一导、推一推,打造出一幅“涓涓细流润芬芳”的美好图景,在师生对话中自然生成了“函数单调性”的概念。这种学生发现问题、带领学生寻找解决问题的方法,渗透了数形结合的数学思想,符合建构主义理论及其教学方法。

“函数的单调性”教学设计,体现了数学来源于生活而又服务于生活的意识,把丰富的生活感知和数学理性有机融合起来,让学生感受到生活中有数学,体会到数学对自然与社会所产生的作用,认识到数学的价值所在,学会用数学的思想和方法去观察问题、研究问题和解决问题,掌握必要的思维策略,尝试用数学的眼光看世界。

(作者单位:江苏省苏州第十中学校)