自助餐最优定价模型设计

摘 要：本文以呼和浩特市某家金汉斯加盟连锁店为例，对销售价格x1、销售量p、广告费用x、销售增长因子与最大利润Qmax这5个关键元素进行实地调查，在考虑利润最大化问题的基础上建模Q=k·p·（x1-c）-x，分别针对销售价格x1与销售量p的关系以及广告费用x与销售增长因子k进行拟合分析，求出彼此之间的函数关系，利用C语言写出汇编程序和MATLAB软件求出利润的最大值。

关键词：自助餐 最大利润 多项式拟合分析 定价模型

一、引言

自助餐，最早是以冷餐酒会的形式在美国产生的。起初菜品非常简单，为各种聚会提供便捷的就餐服务，只是聚会的一个从属部分。二战后，随着餐饮行业的完善和发展，自助餐也逐渐走向规范化。随着一些世界级连锁市场的五星级酒店进入东南亚地区，并被引到中国的餐饮市场，逐渐成为一种时尚饮食文化。自助餐定价从传统理论上说，可采用最优定价法、渗透定价法和满意定价法。然而自助餐定价合理与否，关系到餐厅能否顺利地进入餐饮业市场、占领餐饮市场、取得较好的经济效益，关系到餐厅本身的前途和命运。

针对自助餐定价目前存在的问题，本文着重分析了自助餐的价位与销售量、广告费和销售增长因子之间变化关系，以求获得商家收益最大化。

二、研究现状及文献综述

在任何行业中，价格都是影响和左右消费者消费欲望和行为的重要因素。因此，随着市场物价的不断上涨，制定合理的定价策略就成为影响餐饮业发展的关键因素。

从当前的研究文献来看，国内关于自助餐定价的研究还是比较少的。徐迅（2012年）以杭州华辰国际饭店等十家环西湖四星级酒店为实证研究，分析了十家酒店自助餐经营模式的现状与存在的问题，从多方面提出营销模式改进措施，其中包括明确定位、市场细分。吴永超、臧传芹（2007年）在《自助餐经营中存在的几个问题》中对于自助餐经营中问题的研究中提到“缺乏创新意识、市场定位不准、片面走低成本的路线”。赵红波（2009年）运用SWOT的分析方法对自助餐市场提到了以消费需求的某些特征或变量为依据来区分不同需求的顾客群体对市场加以细分，对于高端市场、中端市场、低端市场的定价策略做出了相对的建议。仇亚男（2009年）通过对自助餐厅的经济学分析总结了商家正是以自助餐提供了看似“非竞争”的“视觉盲点”战胜了消费者的心理以此进行商业活动。还有吴风（2005年）在《自助餐经营略说》中对自助餐走下坡路的三大因素进行了详细分析，提出自助餐也要走中国道路的建议。

三、自助餐定价模型设计

（一）模型假设

1.文中引用的调查数据真实可靠；

2.文中成本费只包括食物成本费和广告成本费；

3.自助餐价位X1与预期销售量p以及广告费x与销售因子k间存在一定的函数关系，且该函数关系可微。

（二）符号说明

P——预期销售量、X1——售价、X——广告费、K——销售增长因子、Q——利润、C——成本。

（三）模型建立与求解

1.整体思想构建

首先，数据主要来自于对呼和浩特市某金汉斯加盟连锁店的实地调查，主要数据有该店市场售价、日均销量、人均食物成本以及广告费，其中广告费主要包括传单、海报、电视广告、网站团购合作、金汉斯官方网站。自助餐价位与年销售量的关系见表1；投入的广告费与销售增长因子的关系见表2。

结合自助餐定价问题所考虑的因素，可将公式“利润=收入-成本”表述为

Q=k·p（x1-c）-x，继而改写为：Q=k·p（x1-24）·10000-x1·10000

从本式可以看出，方程式中共有五个未知量，分别为：最终目标Q、销售增长因子k、销售量p、售价x1、广告费x，我们的最终目标是求得Qmax，从式子中得知，Q与四个未知量有关系，但在题中给出了x1与p，x与k的关系，我们首先对x1与p与p的关系进行拟合。

2.x1与p的关系进行拟合

表1 自助餐价位与年销售量的关系

可以看出来，自助餐价位x1预售价p的关系为：x1增长p就随之下降，我们对其关系进行二次和三次多项式拟合，得到R2分别为：0.9824、0.9886.如下所示：

图1 自助餐价位和年销售量之间进行二次多项式拟合的效果

图2 自助餐价位和年销售量之间进行三次多项式拟合的效果图

数据来源：图1图2的真实数据来源于表1。

从表中的各个拟合式的R2可以看出，多项式的拟合最好，为了计算很方便，也为了拟合的精度比较高，我们选择二次多项式y=0.0085x2-1.4795x+74.9104并且做出图形。

3.x与k的关系进行拟合

表2 广告费和销售增长因子之间的关系 单位：万元

可以看出来，广告费x与销售增长因子k的关系为：x增长k就随之上升，但是上升到一定的阶段之后就不再上升。我们对其关系三次多项式进行拟合，得到R2为0.9143.如下图所示：

图3 自助餐广告费和销售增长因子之间进行三次多项式拟合的效果图

附：图3的真实数据来源于表2。

从表中的各个拟合式的可以看出，多项式的拟合最好，为了计算很方便，也为了拟合的精度比较高，我们选择三次多项式，并且做出图形；

式子的代入与求解

0.0085x12-1.495x1+74.9104）（x1-24）·10000-10000x

由数据可知：x1的范围是30≤x1≤70，x的范围3≤x≤22，我们可以在利润Q中求得最值Qmax。我们利用C语言编程求解，得到最优结果：价位61 元、广告费18 万元、利润1050.38万元。继续细化步长做：

表3 利用C语言编程求解最大利润

注：x1步长0.5元，X步长0.5 万元。

进一步得到最优结果：价位：60.5元。广告费：18 万元。利润：1050.39万元。

从实际问题出发，我们将产品的售价定为x1=60.5（元），而广告费定为x=18（万），而最终的利润为Qmax=1050.39万元。

利用MATLAB画出自助餐价位、广告费和最大利润的图，得到的最优策略与语言编程得到结果一致。如下图：

图4 利用MATLAB求解最大利润

附：图4的真实数据来源于表1和表2。

得到最优结果：价位60.5元、广告费18 万元、利润1050.39万元。

四、总结

传统的自助餐定价方式以成本定价，但是在激烈竞争形势下可能由于缺乏灵活性而使餐厅处于劣势，因此我们分析自助餐的价位与销售量、广告费和销售增长因子之间变化关系作为定价的标准。对调查所得的数据分别进行了变量关系的拟合分析。

对于表1，我们使用MATLAB对自助餐价位与销售量的每一对不同数值进行多项式拟合，结合拟合精度与拟合优度的比较，可以看出，二次多项式的拟合最好：对于数据表1与数据表2所使用的函数拟合法模型有近似处理，但得到的结果均可以很好的反映实际情况。可操作性强、准确性满足实际需求、具有很强的实际应用价值；通过计算机的编程，解决了计算量大、计算复杂的问题，具有可操作性；数学推导严谨简明（体现为C语言的编程实现和MATLAB画图方面），数据检测方法严密（体现为实地调查数据），有很强的说服力。

基于数学模型的基础对其进行数据分析，证实广告费的投入对自助餐定价的影响，以49元为例计算由于广告因素导致的销售量增长得出广告与增长因子的关系。本文通过模型设计和数据分析得到的结论是，我们将自助餐的价格定为60.5元，广告费定为18万，最大利润为Qmax=1050.39万。

此外，虽然该模型严格地按照所调查数据及条件假设进行了自助餐厅最优定价的确定，但是此模型方案只能保证商家在特定的时间段里有可能实现利润的最大化，实际上经济发展和变化的影响因素有很多，靠单一的模型并不是长远发展的办法。如果要更好地应用于解决实际问题，仍有某些方面值得我们去改进：

1.鉴于数据的可获得性和分析工具的有限性，本文还存在一些不足之出，比如由于调查的数据没有没做广告时的销售量变化，所以增长因子的没有考虑到广告投入为零的情况等。

2.模型假设成本仅包括食物成本和广告成本，而实际生活中自助餐厅成本范围广，需考虑的成本因素较多，成本的增加必将导致最优定价的变化。

3.根据对上述模型的整体性分析，可以从销售价格、销售量、广告费用以及销售增长因子对于产品利润的影响，但是没有给出在未来某一段时间段内，几个关键因素的走势，以及目前市场局势的发展，所以可以查找相关资料，通过对目前市场经济的发展前景，作出趋势预测，做到防患于未然，并提早做好应对新供求关系的准备工作。以上不足在以后的调查研究中会不断完善。

责任编辑：康伟