数学思想在数学问题解决中的重要性

数学题的求解过程是一个通过严密的数学逻辑推导与演算、逐步得出答案的过程，其中包括许多蕴含着不同数学思想的解题步骤。在数学教学实践中，教师的一项主要任务就是对各种数学问题中所蕴含的一系列数学思想加以提炼并进行系统的总结，并将其系统地贯彻到数学教学过程中。

数学问题中所蕴含的数学思想因数学问题的不同而不同：有的数学问题蕴含的数学思想比较显化，解题或教学中比较容易发现与运用，问题解决起来也相对容易；而有的数学问题蕴含的数学思想比较隐性，这时，如果不能理解与掌握其隐含的数学思想，就会给数学问题的解决造成困难；另一种情形是，一数学问题中蕴含各种数学思想并以显性与隐性方式呈现，这样，解题过程中就出现了有的步骤解起来较为容易、而有的步骤或过程解起来就较为困难，或者因不能很好地掌握其中的数学思想而无法解决。

因此，全面地理解、掌握并熟练地运用数学问题中蕴含的数学思想，是解决数学问题的关键；如何将数学问题中蕴含的数学思想有效地融于数学教学实践中，使学生真正理解数学问题中的数学思想，是数学教学的关键。下面通过一道数学题的求解过程，阐释该数学问题中蕴含的数学思想以及认识、理解、运用这些数学思想在解决数学问题中的重要性。

一、数学问题

已知：函数f（x）为奇函数，对任意的x∈R，f（x+2）=-f（x），且[0，1]在区间（x）=x，求函数f（x）在区间[7，8]范围的解析式。

二、解题过程

解：当x∈[0，1]时，f（x）=x，f（x+2）=-f（x）=-x这样x+2∈[2，3]，令X=x+2，X∈[2，3]代入

f（x+2）=-x=-（x+2）+2，则有f（X）=-X+2，

即x∈[2，3]时，f（x）=-x+2，f（x+2）=-f（x）=x-2。

同样令X=x+2，x∈[2，3]有X∈[4，5]代入

f（x+2）=x-2=（x+2）-4有f（X）=X-4，

即X∈[4，5]时，

f（x）=x-4，f（x+2）=-f（x）=-x+4=（x+2）+6

如此得x∈[6，7]时，f（x）=-x+6，f（x+2）=-f（x）=x-6

即x∈[8，9]时，f（x）=x-8，……

按这个方法递推下去，找不到区间[7，8]内函数的解析式。所以必须考虑f（x）为奇函数的条件。

在x∈[1，0]时-x∈[0，1]，f（-x）=-x

而f（-x）=-f（x），因而x∈[1，0]时，f（x）=x，

f（x+2）=-f（x）=-x=-（x+2）+2，

令X=x+2，X∈[1，2]代入f（x+2）=-（x+2）+2，则有f（X）=-X+2，即x∈[1，2]时，f（x）=-x+2，

f（x+2）=-f（x）=x-2=（x+2）-4，类似有x∈[3，4]时，f（x）=x-4，f（x+2）=-f（x）=-x+4=-（x+2）+6，

依次推下去，得x∈[7，8]时，f（x）=x-8。

三、探析解题过程中的数学思想

本解题过程是从条件“对任意x∈R，

f（x+2）=-f（x）及x∈[0，1]，f（x）=x” 出发，得到函数f（x+2）=-（x+2）+2，考虑用变量代换X=x+2依据的是换元思想，而构造出一个在区间[2，3]内的函数f（x）=-x+2又是构造思想的体现，按照这两个思想继续讨论x∈[2，3]时f（x+2）=（x+2）-4，又可求出x∈[4，5]时的f（x），如此类推，即可得到[8，9]、[10，11]等区间的函数f（x）。这一过程融入了分类思想（分成[0，1]、[2，3]……区间讨论）、归纳思想（即从具体的[0，1]内的f（x），寻找到用f（x+2）=-f（x）往下递推的规律），又运用等价转化思想将最初的条件[0，1]内的f（x）=x。转化为条件[-1，0]内f（x）=x，进而按照上述的换元、构造思想，求得x∈[7，8]的f（x）=x-8。

这里，难点是换元思想到构造思想的过渡。从f（x+2）=-（x+2）+2作变量代换X=x+2，如何构造区间[2，3]内的函数f（x）=-x+2？教师要利用数学思想讲清楚X所处位置的角色实质上是自变量，它与f（x）=-x+2中x的角色一致，只是用的字母符号不同。否则，学生会将X=x+2中的x与f（x）=-x+2中的x视为等同，不理解为什么两者会不同而深深地陷入纠结中。前面的换元、构造思想清楚后，后面解题过程的理解就容易了，相应的数学思想学生亦能更好地感悟、认识，为进一步渗透数学思想，开启思维奠定了基础。

四、求解问题的拓展，数学思想的延续

上述数学问题虽然已经得以解决，但该题的求解思路仍在影响着学生，所运用的数学思想可以继续指导学生将问题延伸拓展，教师可趁热打铁要求学生对上述数学问题的解题过程进行梳理，并求出整个实数范围如此划分区间的函数解析式。

通过教师的引导、分析，学生对该题解题过程及各区间的函数做进一步的梳理，并利用分类思想、化归思想方法从x∈[-1，1]时，f（x）=x。

x∈[1，3]时，f（x）=-x+2；x∈[3，4]，f（x）=x-4；x∈[5，7]，f（x）=-x+6……

归纳得出f（x）=-x+4n-2 x∈[4n-3，4n-1]x-4n x∈[4n-1，4n+1]

渗透了从特殊到一般的归纳思想。根据f（x）的公式可以得到各个区间的函数，又完成了一般到特殊的数学过程。并据此作图如下：

从图像又可得出结论：y=f（x）在R上的图像实质是由x∈[1，1]上的直线y=x及x∈[1，3]上的直线y=-x+2分别在x轴上平移±4n（n=0，1，2，……）个单位得到的，这一过程又是数形结合思想的充分体现。

纵观整个解题过程，从数学问题条件的给出、对区间的分析、函数式的产生、图像的描绘等至始至终又贯穿着函数思想，它是我们解决该问题的主线。围绕着这条主线，在解题过程中我们分别运用了换元思想、构造思想、等价转换思想、数形思想、归纳思想等。这些数学思想贯穿于该问题解决的始终，并分别出现于不同的解题步骤中。

由本题可见，一数学问题可能蕴含多种数学思想，如果不能清晰地认识、理解并运用多种数学思想，就无法解决具体的相对复杂的数学问题。要掌握数学思想，对数学教学而言，首先，教师在课前从具体的数学问题中提炼出可能蕴含的数学思想，并对这些思想加以分析、概括和总结；其次，教学中将问题蕴含的数学思想渗透到教学的各个环节。

五、数学教学中渗透数学思想

数学教学不是只就具体问题而解决具体问题的，而是在于通过具体问题的分析与讲解，将具体问题中蕴含的数学思想逐步渗透到教学过程中，使学生从具体问题的解决过程中，接受数学思想的熏陶，获得对问题的认识、理解，进而找到解决问题的方式、方法，并将解决问题的方式、方法转化为自己应用数学思想解决问题的能力。

1. 数学思想融于数学问题之中

从上述数学问题的解析过程所运用的数学思想可以看出，数学思想融于数学问题之中，或者说，既没有不包含数学思想的数学问题，也没有游离于数学问题之外的数学思想。数学思想对数学问题的解决起指导性的作用，数学问题因数学思想的存在而彰显神奇的魅力，因此，可以说数学思想是数学问题的灵魂。认识、理解和掌握数学问题中的数学思想，是我们认识、理解和解决数学问题的前提。解决数学问题的过程，就是运用数学思想进行逻辑推导与运算的过程。全面、正确地认识数学问题中蕴含的数学思想可以帮助我们正确解决数学问题，否则，就会曲解或者不能正确地解决给定的数学问题。

教学上，对数学思想的掌握程度，是衡量我们对数学知识理解与掌握程度的一把标尺。在数学教学与学习中，我们应当始终特别强调数学思想在解决数学问题中的重要性，而不是就解题而解题。题海战术、只能使学习者厌烦，丧失学习的兴趣，不能真正掌握解题的技巧；同时使教师疲于批改作业，而疏于数学思想的梳理、提炼和总结，更谈不上在教学中将具体数学问题中的数学思想渗透给学生。

2. 数学教学过程是数学思想渗透的过程

数学思想融于数学问题中，反映出数学教学对数学思想的渗透贯穿始终，并通过数学思想的渗透来阐释数学问题的内涵，揭示数学问题之间的联系及解决数学问题的本质方法。脱离了渗透数学思想的数学教学就不能称为真正意义上的数学教学。数学教学的目的，在于使学生真正地掌握认识、分析和解决问题的能力，使学生熟练地掌握数学问题中所蕴含的数学思想，并能运用数学思想解决具体数学问题，实现知识向能力转化的过程。怎样提高学生运用数学思想的能力呢？这需要从两方面入手。第一，教的过程，教师首要任务是从具体数学问题中梳理、提炼和总结出各种数学思想，并将其融会贯通地渗透到教学的各个环节，使学生真正地理解数学问题蕴含的数学思想，从而掌握解题的方法和技巧，完成授人以渔而非授人以鱼的教学过程；第二，学的过程，学生不仅需要做一定的数学题，更重要的是从教师的讲解中理解数学问题中蕴含的数学思想，能够做到举一反三。在此，我们强调数学教学既不是为了做题而做题，而忽视数学思想的灌输与学习，也不是为了数学思想，减少必要的解题训练，数学思想的渗透是为解题提供思路、方法，解题的训练是为培养和形成学生运用数学思想解决问题的能力。在教学中渗透数学思想，在解题中感悟数学思想，在理解数学思想的基础上运用数学思想，这种教与学可以实现知识能力的双重丰收，形成完整的数学思维方式，而不仅仅只是了解了解题的步骤，使对数学问题的认识停留在表层。

数学思想的渗透在教与学中是相互联系，相互促进的，教师对数学思想提炼、总结讲解得到位，教学方法应用得科学，能促进学生理解数学思想在解题中的运用，并能使学生通过对教师讲解数学内容的梳理，挖掘出不同数学问题蕴含的同一数学思想，也可以发现同一数学思想在不同数学知识上的运用，从而使学生学会寻找数学问题中蕴含数学思想共性、区别的方法，并能实现自身对知识的再理解，再认识，提升自己对数学思想的认识，为进一步理解数学思想的实质奠定基础。教师对上述题目数学思想的渗透使数学教学取得良好的教学效果，尤其在提炼、总结上，教师采用了两步走的方法：第一步，完成区间范围内求函数解析式过程蕴含数学思想的渗透总结，该过程主要由教师完成，目的是要学生明白解题过程蕴含的数学思想及这些数学思想是怎样指导我们解决数学问题的。第二步，是教师指导学生完成问题延拓过程后，由学生来梳理、提炼数学思想的过程。前者是指导意义的总结，它可以帮助学生整体性地感悟数学思想，理解数学思想，并能给予学生如何利用已经学到的数学思想进行解决数学问题的一个启发。后者是实践意义上总结，是学生通过自身的解题实践，挖掘、提炼的精华的思想认识。该认识可以帮助学生进一步理解数学思想，掌握数学思想的精髓，初步形成自己认识问题、解决问题的能力。

这种指导性与实践性有机结合地提炼、总结数学思想的方法，不仅能使学生充分理解、掌握解题的方法步骤，而且可以有效地渗透数学思想，提升学生解决问题的能力。

3. 数学思想通过数学问题的解决对学生学习数学产生积极的作用

数学问题解决过程中数学思想的渗透对学生进一步学习数学具有重要的作用，主要表现在：（1）利于学生数学认知结构的优化。数学问题解决过程中数学思想的渗透丰富了学生感知、理解、推理的认识过程，使学生对数学问题的表象认识，上升到更深层次的理性认识，从而掌握解决数学问题的方法。在此过程中数学思想的注入使得学生意识中的数学概念逐步明晰化，理解认识逐步深刻，并能使学生对自己储存的知识进行提炼、重组形成新的知识结构，因而可以更好地顺应和同化新旧知识，优化学生的认知结构。（2）利于学生缜密思维方式的形成。数学思想在解决数学问题的过程中逐渐被理解、掌握，又指导应用于数学问题的解决。学生通过教师数学问题解决过程的数学思想的渗透，不仅逐步理解了数学思想，而且逐步学会用数学思想去分析、判断、解决数学问题，其考虑问题的角度、方法会更全面，解题的思路更具逻辑性，思维方式会更缜密。（3）激发学生学习数学的兴趣。尝试新事物和探索未知领域是人类的本能。尝试运用不同数学思想来解决同一数学问题，或者运用同一数学思想解决不同数学问题，在很大程度上能够激发学生学习数学的欲望和兴趣，并能增强学生分析问题解决问题的能力。教师通过本题区间[7，8]函数解析式求解过程中蕴含数学思想的渗透，可对学生产生潜移默化的影响，激活学生大脑潜在的数学意识，引发学生探求“能不能求出整个实数范围如此划分区间内的函数”问题的欲望。在探求该问题过程中，学生又会有新的发现、新的思考，如能否“一般求出的数学解析式？”这就会促进学生对问题的递进思考，延续学生的思维活动，并最终利用数学思想完成一般数学解析式的求解。

由此可见，作为解决数学问题的一把钥匙，数学思想贯穿于数学教学与实际应用的始终。应当说，数学思想来自于数学问题解析中，也必然应用于数学问题的解析中，用于指导数学问题的解决。因此，在数学教学中，教师的一项主要任务就是将数学问题中蕴含的数学思想渗透到教学实践中。

参考文献

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