辨析一类易错的命题判断题

近日笔者学习了项金标老师《你真的清楚学生的理解方式吗？》 （《小学数学教与学》2012.7，原发表在《教育研究与评论》小学教育教学版（南京），2012.4）（简称文[1]）一文，文[1]认为学生理解方式的偏差与理解能力的不足造成对知识解答的错误，并列举了多个实例来说明学生的理解方式出现偏差。笔者对其中的几个实例有一些不同的看法，在此不揣冒昧和大家交流一下，请大家批评指正。

[实例1]判断正误：“甲数除以乙数，等于甲数乘以乙数的倒数。”

文[1]认为，因为题中没有明确乙数不是0，而教科书中却有明确的表述，因此认为此命题是错误的；学生认为“甲数除以乙数是前提，既然可以除，乙数就不应该为0”是学生的理解方式出现了偏差。但笔者却认为学生的理解是正确的。

事实上，我们知道任何一个命题都包括条件和结论两个部分，判断一个命题的对错，其实质就是判断从命题的条件出发是否能必然推出结论成立。即在谈到一个命题时，首先要保证这个命题的条件是成立的，然后才能涉及命题的结论是否成立的问题，如果条件本身就不成立的话，那么这个命题就没有意义了。在实例1中，“甲数除以乙数”是条件，“等于甲数乘以乙数的倒数”是结论。我们要判断的不是“甲数除以乙数”这个条件是不是成立，而是要判断在这个条件下，结论是否成立的问题，其正误是显而易见的。

文[1]判此命题为真，理由是“习惯性的理解一个数的几分之几不包含0”，并且认为“这样的问题很难跟学生讲清楚，而且价值不大”，同时认为“所以我们在表述时，不妨就告诉学生甲数、乙数不为0，使学生不纠缠于细枝末节的问题”。

对于文[1]的上述理由，笔者有以下几个疑问。

其一，“习惯性的理解一个数的几分之几不包含0”有何依据？是教师的惯性思维还是教科书中有明确的限定？笔者认为，“0”在小学一年级的教科书上就介绍了，因此在没有“此数不为0”的表述下，无根据的“习惯性”把0排除在外是不对的。

其二，认为“这样的问题很难跟学生讲清楚，而且价值不大”是不正确的。实际上，从文[1]中的叙述看，学生对这个问题理解已经很清楚了，甲数、乙数可能会同时为0，所以此命题为假。严谨性是数学最本质的特性之一，教学中应在学生能接受的范围内尽可能地保证知识内容的科学、准确。用分析特例的方法，否定或估算数学问题，是培养学生思维严谨性的重要方法，其中蕴含着极其重要的数学思想，其价值绝对是“大大的”，怎么能说“价值不大”呢？

[实例3]判断正误：“平行四边形不是轴对称图形。”

文[1]中的表述是这样的：“确有一部分学生认为是错的，但他并没有把一般平行四边形当成轴对称图形来理解，而是认为长方形、正方形也属于平行四边形，它们是轴对称图形，所以他们认为正确的表述应是：平行四边形有的是轴对称图形，有的不是轴对称图形。”

根据原文表述可以看出，文[1]认为“平行四边形有的是轴对称图形，有的不是轴对称图形”是错误的。

小学数学教材中对平行四边形的定义为：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。而长方形、菱形等显然满足平行四边形的定义，因此长方形、菱形均为平行四边形。又因为长方形、菱形为轴对称图形，所以“平行四边形有的（如长方形、菱形）是轴对称图形，有的不是轴对称图形”的论断是正确的。

事实上，这个命题的判断涉及逻辑学中的全称命题、存在性命题以及命题的否定等相关知识。对于此命题较为全面的辨析可以这样入手：

首先，命题1：“平行四边形是轴对称图形”，这个命题是真是假？辨析：这是一个全称命题，意指任意的平行四边形均为轴对称图形，这显然是假的，如一般的平行四边形都不是轴对称图形。

命题1的否定为：“有的平行四边形不是轴对称图形”，记为命题2，那么命题2是真是假？辨析：这是个存在性命题，意指存在平行四边形不是轴对称图形。确实存在平行四边形不是轴对称图形，因此命题2为真。另外，根据命题与命题的否定真假性相反的原理，由命题1假也可推断其否定即命题2为真。

接下来，我们探讨命题3：“平行四边形不是轴对称图形”是真是假？辨析：这是个全称命题，意指任意的平行四边形都不是轴对称图形。要说明一个全称命题为假，只需举出反例即可，如长方形、菱形都是平行四边形，但它们是轴对称图形，所以命题3为假。

命题3的否定为：“有的平行四边形是轴对称图形”，是真是假？记为命题4，那么命题4是真是假？辨析：这是个存在性命题，意指有（至少存在一个）平行四边形是轴对称图形，这显然是真的，因为要说明一个存在性命题为真时，只需举出一个实例即可，而长方形、菱形是平行四边形，也是轴对称图形，因此命题4为真。

关于这个问题很多人会有这样的误解，认为命题1“平行四边形是轴对称图形”的对立面，即它的否定是“平行四边形不是轴对称图形”。但事实上，命题1的否定应为命题2“有的平行四边形不是轴对称图形”，也可通俗地说成“平行四边形不都是轴对称图形”。 当然，关于命题和命题的否定等逻辑学知识是很难给小学生讲明白的，也没有必要对小学生讲解有关内容（现行中小学教材中，此知识在高中选修教材2-3中“简易逻辑”部分介绍）。所以笔者认为，对于此知识点，学生能了解平行四边形有的是轴对称图形，有的不是轴对称图形就已经足够了，并且在小学阶段实在没有必要出现类似这样的命题判断。否则，详细讲解学生理解不了；模糊处理的话，又很可能给学生传递了错误的知识，对其以后的学习造成负面的影响。

最后值得一提的是，笔者发现在日常的教学活动中，经常有些小学教师会犯一些类似这样的错误，例如误认为“12条棱都相等的几何体一定是正方体”“小数是一个特殊的分数”等。要想避免这些类似的错误发生，其根本方法是要大力提升小学数学教师的数学专业素养，同时要在编拟习题时尽量避免出现超纲现象。

（责编 黄春香）