利用向量法求根式函数值域问题

摘 要：本文试着用向量的几何意义来解决求一类根式函数值域的问题. 向量作为工具，它沟通了几何与代数间的联系，为处理和解决中学数学中的问题增添了新的思想方法.

关键词：值域；最值；根式；向量

向量的引入使立体几何、解析几何、代数问题和三角函数等问题有机地结合在了一起. 在解决实际问题中，往往能起到简化解题思路、减少解题计算量、开拓新思路的奇效；在平面、立体几何中，尤其能起到减少添辅助线的作用. 关于向量的教学探讨和向量在几何中的应用研究，已有许多文章进行了探讨，本文主要针对教学中“根式函数”的值域问题浅谈自己的体会.

“根式函数”的值域求法是高中学生比较难掌握的一个知识点，通常需要通过函数的单调性、换元法、函数平方去根号等办法才可以解决. 构造的思想一直禁锢着学生的思维.但对于更一般的形式，学生很难系统地掌握它，找到解题的路径. 而向量的几何意义恰恰在解决根式函数问题上发挥了极大的作用.现通过几个实例来探索根式函数的值域解法.

例题5中对于a，p不等于1的情况下也可以求函数的值域. 只要把系数a提取到根号外面，仍旧能用上面的方法来解决.

利用向量的几何意义，巧妙构造向量，把根式函数的值域问题和向量巧妙地进行了联系. 最主要的是寻找两个合适的向量，把函数式看成是两个向量的数量积的形式，利用向量数量积的几何意义来解题，使得代数与几何紧密地结合起来，拓展了学生的视野，使解题更简洁、更直观. 用向量法的证明方法，还可以解决一类函数最值的求法.

现在来看下列几题：