彰显“退化”本质魅力 攻克“动点距离”难题

摘 要：针对高中数学中普遍存在的涉及二次曲线上动点的距离极值问题，本文从理论基础、思维实践和方法特色三个方面论述运用“二次曲线及其相交情形的退化”处理动点距离最值问题，使方法系统化，理论与思维实践紧密融合，让高中数学教师体会到运用通法解决问题时，比通常所谓“巧解”、“特解”更简洁流畅，更具有数学美.

关键词：二次曲线；动点；同心圆系；距离；最值；相交；相切；退化

高中数学教学与高考中普遍涉及二次曲线上动点的距离类极值问题. 试看下述问题：

在某恒星周围空间建立坐标系，宇航员和飞船位置坐标为（5，0），星际空间一颗小行星沿抛物线轨道y2=8x而来，恒星恰好处于抛物线焦点上，若不考虑其他星球的影响，试求此小行星距离宇航员最近为多少单位？

此类问题一般由题设背景条件限制出一个定点A，另有一动点B在已知直线上或圆上、椭圆上、双曲线上，求AB之间距离的最小值或最大值. 许多高中数学教师对此缺少系统解决方法与教学分析、处理，通常一题一法，学生感到变化复杂、较难掌握. 究其原因，在涉及动点的距离极值类问题中，若动点在二次曲线上，求解涉及众多二次方程组、高次方程或复杂的根式方程，高等数学常用高阶导数处理，在初等数学范围通常貌似棘手. 通过教学反思，笔者认为不妨回归到问题的本源上思考.

掀起一类题的“盖头”，引出一套理论的“奥妙”

首先，二次曲线方程一般式中二次项系数为零后就得到一次方程，直线常可视为二次曲线退化形式. 也可从几何角度理解. 诚如数千年前阿波罗尼斯发现的，所有圆锥曲线可统一视为空间的一个平面从不同方向截共轴共顶点双锥面所得截线：平面垂直于双锥面对称轴时，截线为一圆，此平面过锥面顶点时，圆退化为点；若平面斜交于双锥面对称轴，截线为椭圆或抛物线，若平面恰过锥面顶点，椭圆或抛物线退化为一对直线或一点；若平面平行于双锥面对称轴，截线为双曲线，若此平面恰过锥面顶点，双曲线退化为一对直线. 值得注意的是，以上各例直线与点都可视为二次曲线的特殊退化情况.

其次，两个二次曲线相交点坐标应为对应的两个二元二次方程构成的方程组的实数解. 将纯粹代数方程解的讨论与对应的几何意义结合起来，存在下表各类情形，值得注意的是，有且只有某两对实数解因相同而退化为一组实数解时，两个二次曲线有两个交点退化为一个切点.

再次，最为特殊的二次曲线是圆：方程在二次曲线中最简洁，二次项系数同为1；平面图形中对称度最高，旋转变换中圆作为一个整体不动，在平移变换中，只需抓住圆心的平移变换特征，整个圆上的点就确定；从点集拓扑学看，圆作为欧氏空间中的特殊凸集，具有一系列宝贵特征，圆周上所有点到圆心的距离都相等，圆内任一点到圆心的距离都小于圆周上的点到圆心的距离，圆外任一点到圆心的距离都大于圆周上的点到圆心的距离. 特别是平面上所有的点可以视为以一个定点为圆心而半径不定的同心圆系的并集.若此定点为（x0，y0），则同心圆系可表为（x-x0）2+（y-y0）2=r2，r视为参数，其实就是动点到（x0，y0）的距离.