浅谈“函数的单调性”的教学设计与反思

摘 要：“函数的单调性”是高中苏教版的实验教科书《数学》必修（1）第2·1·3节“函数的简单性质”的第一课时，在学习了函数的概念和图象、函数的表示方法，体会了两个变量之间的依赖关系的基础上，需进一步系统地研究两个变量之间的变化关系.

关键词：函数的单调性；数学思想；层次性；高效课堂

基本情况

一、授课对象

授课对象是四星级高中普通班学生，他们的数学基础较好，数学思维能力较活跃. 在初中，学生已经历了函数学习的第一阶段，接受了初步的函数知识，对函数的单调性有“形”的直观的认识，了解“y随x增大而增大（减小）”来描述图象的上升（下降）走势，但还没有对函数的单调性进行系统的定义，还不能形式化、符号化的表示函数的单调性，因此，他们非常迫切地想从“数”的角度知道如何理论地定义函数的单调性.

二、教材分析

1. 教材的地位和作用

“函数的单调性”是高中苏教版的实验教科书《数学》必修（1）第2·1·3节“函数的简单性质”的第一课时，在学习了函数的概念和图象、函数的表示方法，体会了两个变量之间的依赖关系的基础上，需进一步系统地研究两个变量之间的变化关系，故将学习函数性质提上了日程.

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，可以帮助解决许多实际问题. 作为数学模型，它需要从概念、表示、性质等多角度建构完善自己的数学体系，函数的单调性正是这诸多方面中一个重要的性质，它决定了函数的变化、函数图象的形状，是函数诸多性质中最核心的内容，是研究函数时经常要关注和使用的一个性质，是高考的重点、热点，它在判断或证明函数的单调性、比较大小、求函数的单调区间、利用单调性求参数的取值范围、利用单调性解不等式、对函数作定性分析、求函数的极值，以及与其他知识的综合应用上都有着广泛的应用. 同时，本小节又是后继学习指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等具体函数性质的基础，是高中数学的核心知识之一，故本节内容在函数教学中起到承前启后的枢纽作用.

2. 教学内容和教学目标

教学内容：函数的单调性

根据教学大纲的要求及本人所教班级学生的实际情况，笔者把教学目标确定如下：

（1）知识目标：使学生理解函数单调性的概念，理解函数单调性的几何特征，初步掌握利用函数图象和定义判断、证明简单函数在给定区间上的单调性；

（2）能力目标：通过函数单调性概念的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察归纳、抽象、类比的能力和语言表达能力，通过对简单函数单调性的证明，提高学生推理论证的能力；

（3）情感目标：通过对新知识的探索，培养学生仔细观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，让学生体验数学的符号功能和工具功能及不断探求新知识的精神.

3. 教材的重点与难点

重点：函数单调性的概念及证明简单函数的单调性.

难点：函数单调性概念的生成及利用定义判断函数的单调性.

这是因为，对学生来说，函数的单调性早已有所知，然而没有给出定义，只是从直观上接触过这一性质，学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味，容易疲劳，因此，授课时需重视概念的生成，让学生体会从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，感受数学知识的螺旋上升，从理论层面上二次认识函数的单调性，其中甚至包含着辩证法的原理.另外，对概念的分析是在引入一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点，因此在课堂上突出对概念的分析不仅是为了分析函数的单调性的定义，而是想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用. 所以笔者把教学重点定为“函数单调性的概念”.

还有，学生首次接触“使用定义证明单调性”的代数论证方法，给出步骤，体现了算法思想，有利于学生理解概念，对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助，这也是不等式证明方法中比较法的基本思路，现在提出要求，为今后的教学作一定的铺垫.

教学过程

一、设计情境、引入新课

教师：图1是我市一天24小时内的气温变化图，我们已经知道它是气温θ关于时间t的函数，观察这张气温变化图，说出气温在哪些时段内是逐渐升高的或下降的.

学生1：在0时到4时气温逐渐下降，在4时到14时气温逐渐上升，从14时到24时，气温又逐渐下降.

教师：怎样用数学语言刻画上述时间段内“随着时间的增加气温逐渐升高”这一特征呢？为解决这个问题，首先需要建立函数单调性的严格定义. （引入课题）

2. 归纳探索，形成概念

问题1 观察下列4个函数的图象，当自变量x逐渐增大时，研究图象的变化趋势.

教师：对一次函数来说，图象一直上升或下降，但是对二次函数y=x2来说，图象先下降后上升，这说明了什么？

学生4：说明在研究二次函数的图象时需要分情况讨论. 当x≤0时，图象下降；当x≥0时，图象上升.

问题2 你能说出“图象呈上升趋势或呈下降趋势”的意思吗？

学生5：图象呈上升趋势？圳y随x的增大而增大；图象呈下降趋势？圳y随x的增大而减小.

教师：当函数图象在某区间上上升时，则称函数为该区间上的单调增函数；当图象下降时，则称函数为该区间上的单调减函数. 这是我们对单调性的“形”的认识，根据“形”的定义，你能说出气温变化图这个函数的单调性吗？

学生6：函数在区间[0，4]上是减函数，在区间[4，14]上为增函数，在区间[14，24]上减函数.

教学设想：通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力与数形结合语言转换能力.

问题3 利用函数y=x2的图象，试比较下列各数的大小：22，32，42，（4.1）2，（5.2）2，（6.4）2

学生7：从函数y=x2图象上看，因为当x≥0时，图象上升，y随x的增大而增大，故22<32<42<（4.1）2<（5.2）2<（6.4）2.

问题4 对函数f（x），如果-2<3时，有f（-2）

学生8：不能，比如函数y=x2，图象在（-2，3）上先下降后上升，函数应该先减后增.

问题5 若函数f（x）对于区间（0，+∞）上无数多个自变量x1，x2，x3，…，当0

学生9：不能，如图6所示.

问题6 在函数y=x2的图象位于y轴右侧部分随便（任意）取两点，横坐标分别为x1，x2即0

学生：是. （齐声）

问题7 在函数在函数y=x2的图象上任意取两点，横坐标分别为x1，x2，当x1

学生10：不是. 当点都取在y轴左侧部分上时，x1y2. 当点一个取在y轴左边，一个取在y轴右边时，x1y2，主要看哪个点高.

问题8 能不能试着用数学符号说说什么是单调增函数？并且画出示意图吗？

学生11：设函数y=f（x）的定义域为D，区间I？哿D.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1gQWUQMa5em4o0oZDpR2l2IO14DPru5uhqUkR2SlDWiY=是单调增函数，I称为y=f（x）的单调增区间.

问题9 对于定义中的关键词“区间内”、“任意”、“当x1

学生12：不能，否则要出现问题4、5、7中的情况.

问题10 类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的概念吗？

学生13：如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1f（x2），那么就说y=f（x）在区间I上是单调减函数，I称为y=f（x）的单调减区间.

教师：这样我们得到了单调增函数、单调减函数的定义，并且如果函数y=f（x）在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f（x）在区间I上具有单调性. 单调增区间和单调减区间统称为单调区间.

教学设想：通过问题串，铺设形成概念的阶梯，不断创设疑问，引导学生积极思考、讨论，让学生一步步体会出概念，把握住概念中的关键词“区间内”、“任意”、“当x1

3. 数学应用，掌握方法

例1 画出下列函数图象，并写出单调区间：

练习1 课本37页练习？摇？摇 1、2、6、7

教学设想：1. 利用图象判断函数的单调性，从“形”的方面体会函数的单调性，理解单调性的几何意义，体会函数的单调性是函数的局部性质.

2. 进一步体会单调性定义中的“任意”这一词；理解区间I？哿A.

教师：对于给定的图象的函数，借助于图象，我们可以直观地判断函数的单调性，也能找到单调区间，而对于一般的函数，我们怎样判断函数的单调性呢？我们需要学习“数”的方法研究函数的单调性.

教学设想：（1）应用定义给出形式化的证明，从“数”的方面理解单调性.

（2）为了学生能很快形成证明思路，掌握证明方法，指出函数单调性证明的要点.

方法：作差比较法.

步骤：

①设变量：设区间上的任意两个值x1，x2，且x1

②作差：f（x1）-f（x2）；

③变形：主要使用通分、因式分解、配方等手段使之成为几个因式乘积形式；

④断号；

⑤定论.

其中作差是依据，变形是手段，判断正负是目的.

4. 回顾小结，提高能力

本节课主要内容：

1. 函数单调性及生成的过程，感受了数学研究问题从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程；

2. 判断函数单调性的方法：图形法、变量值法、定义法；

3. 利用定义证明函数单调性的步骤，感受代数推理的严谨性；

4. 本节课涉及的数学思想方法：数形结合思想、等价转化思想、类比思想.

教学设想：学生概括，教师补充共同完成，体现师生互动.

5. 作业布置，巩固成效

习题2.1（3） 1、7 （2） （4）

思考：已知函数y=f（x）在定义域R上是单调减函数，且f（a+1）>f（2a），求a的取值范围.

教学设想：课后及时复习可以温故知新；作业分层对学有余力的学生能起到开阔思维的作用.

教学反思

1. 依据的理论

美国数学教育学家杜宾斯基（Dubinsky）认为，学习数学概念必须遵循APOS的建构主义学习理论，这个理论认为，学生学习数学概念的心理建构过程要经历四个阶段：（1）活动阶段：数学教学是数学活动的教学，在本课设计中，让学生像科学家一样，经历函数单调性概念的生成过程，通过实际经验来获得新知；（2）过程阶段：通过不断重复函数自变量x的改变对函数值y的影响这样的过程，让学生从中不断反思，在大脑中进行了一种心理建构，使得概念的呈现表现出自动化的形式，呼之欲出，不需要外部的不断刺激；（3）对象阶段：当学生意识到可以把前面经历的过程看做是一个整体，并且意识到可以对这个整体进行转变和操作的时候，其实已经把这个过程作为一个一般的数学对象，形成一个“实体”，也就是函数的单调性概念形成的最佳时机，从而很自然地就得到了函数的单调性概念；（4）图式阶段：通过图示可以把学生在头脑中具体函数的单调性的图象升级为一般性函数单调性的图形，对概念的理解上升到更高的层次.

2. 突出的数学思想

本节课以问题串的形式引导学生从“形”到“数”认识单调性，利用二次函数图象让学生感受函数的单调性是函数的局部性质，从具体到一般，从有限到无限一步步引导学生感受概念中自变量x1，x2的任意性，帮助学生从直观到抽象、从感性到理性建立起正确的函数单调性的概念，将“数形结合”、“类比推理”、“等价转化”“特殊与一般”等数学思想渗透于教学过程中，依附于具体的数学知识上，优化了知识结构，提高了学生的能力，潜移默化地影响学生数学思维，为学生今后的发展提供了有力的保障.

3. 体现了层次性

本节课是函数性质的起始课，重点是函数单调性的概念，它是函数学习过程中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数的其他性质提供了方法依据. 学生在学习的过程中面临两个问题：1. 如何用准确的数学符号语言描述函数函数图象的上升与下降；2. 证明函数的单调性是学生在学习生涯中第一次遇到的代数论证方法，他们在这个方面的能力还比较薄弱. 为解决第一个问题，在本节课中以问题串的形式引导学生从“形”到“数”认识单调性，利用二次函数图象让学生感受函数的单调性是函数的局部性质，从具体到一般，从有限到无限一步步引导学生感受概念中自变量x1，x2的任意性，帮助学生从直观到抽象、从感性到理性建立起正确的函数单调性的概念；为解决第二个问题，从算法角度和学生一起归纳出利用定义证明函数单调性的步骤：设元——作差——变形——断号——定论，让学生有章可循，熟练掌握证明单调性的方法，又为后续学习函数的其他性质提供了方法模式.

在教学设计中，编排的例题与变式体现了层次性，例1从“形”上进一步加深对函数单调性认识，把握概念中的关键词“区间内”；例2从代数论证的角度把握函数的单调性概念中的关键词“任意”和“当x1f（x2））”，从“数”的角度从更高的层次上理解了概念；课后的思考题要使用概念的外延来解决，对能力有一定的要求，在整个应用过程对概念的应用层次分明，步步递进.

4. 实现高效课堂

记得有位诗人说过：教育不是注满一桶水，而是点燃一把火. 反思“函数的单调性”的教学效果，笔者认为类似这样的数学概念的教学，教学设计要重视“过程性”，教学过程要重视学生的“参与性”，让学生“参与”到学习的过程中，才能培养学生学习的主动性、创造性，将学生学习的燎原之火点燃，才能较好地激发其主动学习，确立其主体地位.

高效课堂注重的是基础知识、基本技能、基本方法的教学，而不是让学生在大量的题海中“悟”数学思想、解题方法和规律，数学概念、定理、公式的形成或推到过程本身就蕴涵了众多的数学思想和方法，只有充分地暴露思维过程，才能挖掘其内在规律，帮助学生掌握科学的方法，达到培养和提高学生能力的目标. 本节课笔者围绕函数单调性的概念形成的过程，立足于学生的“最进发展区”，设计了若干具体问题，以问题为中心，学生为主体，让他们从具体问题中体会概念，然后归纳概念，符合学生认知规律，体现了本课设计的基本理念：过程性、问题性和主体性.