《利用二分法求方程的近似解》教学设计

摘 要：本节课是北师大版《必修一》第三章第一单元第二节《用二分法求方程的近似解》的内容. 本节课通过问题引导学生自主探究二分法的原理与步骤，以师生互动为主，并辅以多媒体教学手段，通过创设问题情景，引导学生根据问题进行研讨，达到本节课显性目标和隐性目标得以实现的目的.

关键词：二分法；函数；方程；零点

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（A版）》第三章第一单元第二节——用二分法求方程的近似解. 二分法的理论依据是“函数零点的存在性（定理）”，本节课是上节学习内容《方程的根与函数的零点》的自然延伸.

二分法虽然是刻板的、机械的，有时还需要进行大量的重复计算，但是它包含了深刻的思想方法，对学生今后的数学学习还是非常有用的，在教学当中要让学生感受整体到局部、特殊到一般、定性到定量、精确到近似、计算到技术、技法到算法这些数学思想的发展过程.

在二分法教学中，方法的建构、技术的运用、算法的渗透以及它们的同步发展过程，是这节课的隐性教学目标，在教学中它体现出一种螺旋式的上升：第一个阶段是从数到形，是为了更好地说明二分法的理论依据（根的存在性）uDk3KmAG+YzW3K/cwSTHQwelR+2JQYxMXxdrlleROmM=；第二个阶段是从形再到数，其中的形是包括从图象到数轴，再从数轴到表格.在这样的过程中，形的特征不断被深化，最后抽象成了以数为主体的一个算法流程. 因此，整个二分法的教学流程要体现在这样一个框架当中：它是一个代数的问题，第一次转化是从代数到几何直观，第二次转化是从整体到局部，去研究函数零点区间.

学生已初步理解了函数图象与方程的根之间的关系，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了知识准备. 但学生仅是比较熟悉一元二次方程解与函数零点的关系，对于高次方程、超越方程与对应函数零点之间的联系的认识比较模糊，计算器的使用不够熟练，这些都给学生学习本节内容造成了一定困难.

1. 知识与技能

通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，会用二分法求解具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用，体会程序化解决问题的思想.

2. 过程与方法

借助计算器利用二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做准备.

3. 情感、态度、价值观

通过探究体验、展示与交流，养成良好的学习品质，增强合作意识. 通过体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一.

重点——通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.

难点——恰当地使用信息iwOOP83zb4xlkG8jM6QWOGTFSVAFzVpTH96iISXsN2w=技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解.

问题导学、数学探究：通过问题引导学生自主探究二分法的原理与步骤，以师生互动为主的教学方法，并辅以多媒体教学手段，创设问题情景，学生根据问题研讨.

设计思路如下：

本节课以PowerPoint为制作平台，演示Excel程序求方程的近似解，界面活泼，充分体现了信息技术与数学课程有机整合. 在课堂教学中利用计算器进行了多次计算，逐步缩小实数解所在范围，精确度的确定就显得非常自然，突破了教学上的难点，提高了探究活动的有效性.

本节课采用的是问题驱动、启发探究的教学方法.

通过分组合作、互动探究、搭建平台、分散难点的学习指导方法把问题逐步推进、拾级而上，并辅以多媒体教学手段，使学生自主探究二分法的原理.

本节课特点主要有以下几方面：

1. 以问题驱动教学，激发学生的求知欲，体现了以学生为主的教学理念.

2. 注重与现实生活中案例相结合，让学生体会数学来源于现实生活，又可以解决现实生活中的问题.

3. 注重学生参与知识的形成过程，使他们“听”有所思，“学”有所获. 本节课中的每一个问题都是在师生交流中产生，在学生合作探究中解决，使学生经历了完整的学习过程，培养合作交流意识.

4. 恰当地利用现代信息技术，帮助学生揭示数学本质.

本节课中利用计算器进行了多次计算，逐步缩小实数解所在范围，精确度的确定就显得非常自然，突破了教学上的难点，提高了探究活动的有效性. 整个课件都以PowerPoint为制作平台，演示Excel程序求方程的近似解，界面活泼，充分体现了信息技术与数学课程有机整合.

1. 创设情境

问题1：1. 你能求解log3x+x=3这个方程吗？

2. 你能分析解的大概情况吗？（几何画板展示函数图象）

设计意图：（1）通过利用现有知识未能解决的数学问题，激发学生探究兴趣；（2）通过该问题，介绍给学生一些有关与求解方程有关的一些数学史的知识；（3）通过该问题组，引导学生数形结合，巧妙将方程解的问题转化为函数交点的问题，进一步转化成函数零点的问题.

问题2：令f（x）=log3x+x-3，x0为其零点.

1. 零点左右函数值有什么特点呢？我们能运用此性质确定零点所在区间吗？

2. 我们能将零点所在的区间缩小吗？

3. 我们还需要什么条件呢？

4. 限定的精确度为0.5（即区间长度小于0.5）

设计意图：回归数学问题，引导学生知识迁移，并在交流探讨中逐步指导学生二分法求解方程近似解步骤.

抽象概括：在误差要求的范围内，在某一区间内要找某个特定值、近似值，可以通过取区间的中点，把区间一分为二，逐步缩小特定值所在的区间（即二分法思想）. 这种思想经常用于查找线路电线、水管、气管等管道线路故障、实验设计、资料查询，也是方程求近似解的常用方法！

设计意图：（1）让学生体会数学来源于生活，又应用于生活的意义；（2）通过学生熟悉的实际情景，让学生体会二分法思想；（3）逐步为利用二分法求解方程近似解作铺垫.

2. 探究新知

问题3：令f（x）=log3x+x-3，其零点x0∈（1，3）.

1. 实验计算：每个学习小组，根据二分法思想，利用计算器计算数据，并完成“用二分法求方程近似解实践表格”.

满足精确度时的零点所在区间是__________，取近似解为__________.

（1）你能说说每次所取区间的理由吗？

（2）“用二分法求方程近似解”时，所给的精确度有什么作用？

（3）你能用自己的语言描述“用二分法求方程近似解”的方法步骤吗？

设计意图：（1）将数学问题的实际探究完全交给学生，充分体现学生学习的自主能动性；（2）加强学习小组的交流，培养学生团队意识.

3. 讨论交流

展示各小组填写的“用二分法求方程近似解表格”，并派代表发言交流.

（1）你能说说每次所取区间的理由吗？

（2）“用二分法求方程近似解”时，所给的精确度有什么作用？

（3）你能用自己的语言描述“用二分法求方程近似解”的方法步骤吗？（学生展示完毕后利用信息技术EXCLE展示计算过程，并提高精确度要求，继续二分法实验）

设计意图：培养学生语言组织和表达能力，增强团队意识.

4. 抽象概括

5. 深入探究

问题4：若函数f（x）在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在闭区间[a，b]端点的函数值符号相反，即f（a）f（b）<0，则f（x）在（a，b）上有一个零点吗？

勘根定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在闭区间[a，b]端点的函数值符号相反，即f（a）f（b）<0，则f（x）在（a，b）上至少有一个零点.

设计意图：加强学生数学素养方面的教学，也为后续探讨问题作理论铺垫.

问题5：是不是所有的零点问题都可以用本节课的方法？你能举例吗？

结论：不是所有的零点都适合，不连续函数的零点或同号零点等等，例如：方程x4+2x3-3.5x2-6x+2=0对应函数f（x）=x4+2x3-3.5x2-6x+2，如图2所示.

（1）函数有几个零点？

（2）你能说说在这些零点左右两侧的函数值有什么特征 ？

（3）“利用二分法求方程近似解”这种方法对于它们都适用吗？

设计意图：培养学生严谨的数学学习态度，加强数学知识的理解和辨识.

6. 反馈练习

问题5：1. 你能分析2x3+3x-3=0解的大概情况吗？精确度为0.5.

7. 内容小结

问题6：这节课你学到了哪些数学知识？体会到哪些数学思想方法？

知识小结：

（1）用二分法求函数零点近似解的适用条件？

（2）用二分法求函数零点的近似解的方法步骤？

思想方法小结：

（1）二分法的基本思想；（2）函数与方程思想；（3）数形结合思想；（4）算法思想.

设计意图：（1）指引学生进行知识回顾，提炼本节课知识要点；（2）强调数学思想方法的渗透.

8. 作业布置

1. 知识巩固

2. 课外拓展

3. 课外思考

（1）如果现在地处学校附近的地下自来水管某处破裂了，那么怎么找出这个破裂处？要不要把水泥板全部掀起？

（2）有48个大小形状一样的小球，有一个质量和其他47个不一样，不知道是重还是轻. 现只有一个天秤，如何最快的把这个质量不同的球找出来？

设计意图：（1）分层布置作业；（2）设计课外数学史有关内容的调查，培养学生数学素养；（3）将实际问题引入，体会数学应用于生活的意义.

9. 板书布置

虽然新课程已实施几年，但《二分法求方程近似解》这部分内容大部分教师只教过一遍，笔者也一样. 为了备好、上好这节课，笔者于是找来了课标、大纲、教参以及一些相关书集先认真研习了一遍，还参考了数学史方面有关求解方程部分的内容，然后通过各种方式找到了这一节内容的各种教学案例，请教了组内其他教师，最终形成了本节课的教学设计. 设计这堂课的主要思路是要在新课程中的新内容中体现出新课程的新理念，充分发挥学生学习的主动性，以学代讲！

通过这次备课和上课，笔者的认识有了提高，现总结如下：

首先，在教学中要让学生感受到二分法虽然是刻板的、机械的，甚至有时还需要进行大量的重复计算，但是它包含了深刻的思想方法，对学生今后的数学学习还是非常有用的，在教学当中要让学生感受整体到局部、特殊到一般、定性到定量、精确到近似、计算到技术、技法到算法这些数学思想的发展过程.

其次，要更好地揭示教材的编写意图. 在二分法教学中，方法的建构、技术的运用、算法的渗透以及它们的同步发展过程，是这节课的隐性教学目标，在教学中它体现出一种螺旋式的上升：第一个阶段是从数到形，是为了更好地说明二分法的理论依据（根的存在性）；第二个阶段是从形再到数，其中的形是包括从图象到数轴，再从数轴到表格.在这样的过程中的形的特征不断被深化，最后抽象成了以数为主体的一个算法流程. 因此，整个二分法的教学流程要体现在这样一个框架当中：它是一个代数的问题，第一次转化是从代数到几何直观，第二次转化是从整体到局部，去研究函数零点区间.

这次教学设计，笔者虽然也认真地研究了教材，也力图体现新课程的一些理念，但是整堂课上下来，自己也有些地方不满意. 虽然尽量创造机会让学生进行自主学习、探索学习，尤其是在二分法方法的发现上，尽量让学生自己去探究，但部分学生还是没有参与其中.部分学生能够通过给定的情境寻找到解题方法，还有些学生并没有体会到情景设置的意图，它的背景是一个教师对于学生认知水平和知识建构、数学知识的联系性等等多方面的知识的整合. 另外，最后问题的深入探究和整堂课的知识回顾过于草率，没有留给学生回顾整合的时间. 其实时间的掌握不太准确，实际上是由于教师在备课的过程中心中准备的“教案”太少，缺少随机应变的能力，备学生“备”的不足. 这些对于教师的数学功底有很高的要求，所以最迫切的、最有效的方式就是钻研教材，阅读和学习，笔者做得还远远不够，还需要不断学习.