椭圆中的“圆幂定理”

摘 要：关于圆的性质在椭圆中一般不会成立. 但在特别条件下，也可能得到保留，通过椭圆性质的探索过程，对问题研究逐渐深化和拓展，有利于激发学习者的兴趣. 尤其是合理地运用几何直观去推测，或是出于直觉，或是通过归纳和类比，体现了一种自然思考的过程，从而得到在椭圆中像圆一样有相交弦定理、切割线定理及割线定理等性质成立的条件.

关键词：斜率相反；斜率定值；四点共圆；椭圆圆幂

大家知道，圆幂定理分为相交弦定理、切割线定理和割线定理. 我们可以统一归纳为：过任意不在圆上的一点P引两条直线l1，l2，l1与圆交于A，B（可重合，即切线），l2与圆交于C，D（可重合），则PA·PB=PC·PD.在椭圆中是否像圆一样有相交弦定理、切割线定理及割线定理等性质，笔者进行探索得到以下结论，供参考.

引理：已知P（x0，y0）（y0≠0）是椭圆+=1上的定点，过P作斜率互为相反数的两条直线，分别交椭圆于A，B两点，则直线AB的斜率为定值.

证明：不妨设PA的斜率为k，则PB的斜率为-k（k≠0），因此直线PA的方程为y-y0=k（x-x0），直线PB的方程为y-y0= -k（x-x0）. 由y=k（x-x0）+y0，

定理1：已知P是椭圆+=1上任意一点（异于长轴端点），PA，PB和PC分别是椭圆的两条割线与切线. 若割线PA，PB的斜率互为相反数，则切线PC与割线AB的斜率也互为相反数.

定理2：已知P是椭圆+=1上任意一点（异于长轴端点），PA，PB和PC分别是椭圆的两条割线与切线. 若割线PA，PB的斜率互为相反数，则TP2=TB·TA.

由此可见，在椭圆中只要有斜率互为相反数的两条直线就会有类似圆切割线定理的结果.

定理2给出过椭圆上一定点（异于长轴端点）作切线的性质，进一步拓展，又可以考虑任意两条割线（斜率互为相反数）是否有相似的性质.

定理3：已知AB，CD是椭圆+=1的两条割线，若直线AB，CD的斜率互为相反数，则直线AC，BD的斜率也互为相反数.

故直线AC，BD的斜率互为相反数，

由此可知：当椭圆内接四边形有一组对边斜率互为相反数时，则另一组对边和对角线的斜率也分别互为相反数.

由于四边形ABCD是圆的内接四边形，不难得到以下两个结论：

推论1：已知AB，CD是椭圆+=1的两条割线. 若直线AB，CD的斜率互为相反数，AC，BD相交于T，则TA·TC=TB·TD.

推论2：已知AB，CD是椭圆+=1的两条割线. 若直线AB，CD的斜率互为相反数，AB，CD相交于R，则RA·RB=RD·RC.

由定理2、推论1和推论2的结论我们可以统一归纳为：过任意不在椭圆上的一点P引两条斜率互为相反数的直线l1，l2，l1与圆交于A，B（可重合，即切线），l2与圆交于C，D（可重合），则PA·PB=PC·PD.

通过深入探究还可以得到以下结论：

由引理知，过椭圆上的一个定点P作斜率互为相反数的两条割线PA，PB，则直线AB的斜率为定值，也就是说随着割线PA，PB斜率的不同取值，可以得到一簇平行直线AB. 反过来，如果作椭圆的一簇平行直线AB，那么是否在椭圆上存在定点P，使直线PA，PB的斜率之和为零呢？

定理4：已知动直线l的斜率为定值k，若直线l与椭圆C：+=1交于两个动点A，B，则椭圆C上存在定点P，使得直线PA，PB的斜率之和为零.

通过类比，我们还可以考虑引理在双曲线、抛物线中是否有类似结论.

定理5：已知P（x0，y0）（y0≠0）是双曲线-=1上的定点，过P作斜率互为相反数的两条直线，分别交双曲线于A，B两点，则直线AB的斜率为定值-.

定理6：已知P（x0，y0）（y0≠0）是抛物线y2=2px（p>0）上的定点，过P作斜率互为相反数的两条直线，分别交抛物线于A，B两点，则直线AB的斜率为定值-.

证明仿照引理，过程略.