柯西不等式的一种构造证法及证法应用

摘 要：一维离散型随机变量的方差（或期望）蕴涵着一个不等关系，利用这个不等关系去有意识地构造概率分布可以创新地解决不等式的最值问题，包括证明柯西不等式. 柯西不等式作为不等式中的典范，能与概率分布牵手必定精彩纷呈. 这种构造性证法为我们数学竞赛的解题、命题提供了一个新的视角.

关键词：概率分布；柯西不等式；构造证法

笔者在运用（*）式解决多元函数的最值问题时发现了柯西不等式的一种构造性证法，柯西不等式是不等式中的典范，能与概率分布牵手必定精彩纷呈，现整理成文，以飨读者.

构造证法证经典

事实上，从柯西不等式的这种构造性证法可以看出，能运用柯西不等式解决的问题，均可以构造概率分布结合E（X2）≥E2（X）加以解决，这为我们数学竞赛的解题、命题提供了一个新的视角.

陈题新解秀应用

例3 P是三角形ABC内部一点，D，E，F分别是从P点向边BC，CA，AB所引垂线的垂足，试找出使++达到最小值的所有P点. （第22届IMO试题）

以上谈的是解题的视角，可以看出，构造概率分布解决最值问题需要考虑两个方面，一是构造满足pi=1的概率pi，二是要结合问题的结构形式构造出随机变量要取的值xi. 至于命题的视角当然应该先从构造概率分布表开始，这样大的框架就定下来了，上述例题均能得到启示.