高中数学概念教学，把握其来龙去脉

摘 要：高中阶段数学概念众多，如果抓住其中的一些重要的概念，抓住那些贯串高中数学学习全程，能够起到牵一发而动全身的概念，实施精细化的教学. 这样既有利于学生学会概念学习，也能起到四两拨千斤的作用.

关键词：高中数学，概念教学，精细化

数学概念是数学学习的基石，这已经是数学教学同行所公认的一点，但公认背后却存在两种相异的认识：一种认识是因为其是基石，因此不必牵扯过多的时间，让学生学懂概念即可，重要的是后面数学规律的学习，以及数学解题能力的培养；另一种认识是既然是基石，那就应该是一个牢固的基石，只有牢固才能支持后面知识的学习.相信不少教师从理论上都是持后一种认识的观点的，但在实际教学中却未必真能做到重视概念的教学，因此也就出现了人们常说的“两张皮”的现象. 这其中的问题倒不完全出在教师身上，一是因为客观原因，由于考试压力（实际上也就是解题能力）的存在，由于高中学习时间紧张等，教师没有精力、没有时间去精心实施数学概念的教学；二是因为主观原因，即数学教师在概念教学意识与概念教学能力上有时会有所欠缺，没有意识去认真实施概念教学，有意识没有能力去实施概念教学，都会造成实际的概念教学被弱化的现象. 当然，高中阶段数学概念众多，如果每一个概念都去实施细致的教学，确实会有较大的现实困难，因此笔者的思路是抓住其中的一些重要的概念，抓住那些贯串高中数学学习全程，能够起到牵一发而动全身的概念，实施精细化的教学. 这样既有利于学生学会概念学习，也能起到四两拨千斤的作用.

本文试以高中数学的重要概念函数为例，谈谈笔者的教学思路.

[⇩] 函数概念理解，要把握来龙去去脉

像函数这样的重要概念，往往在数学发展史上都具有重要的地位，因此我们说要把握概念的来龙去脉，不妨先从数学史上的函数概念来迈开研究的第一步. 根据我们能够搜集到的相关数学史料，我们可以发现函数概念经历了这样的一些过程：1694年，著名数学家莱布尼兹（就是与牛顿一起发明微积分的那位）开始使用函数这一数学概念，其当时是用来描述一个与曲线相关的量的. 根据人们的比较研究，人们得知莱布尼兹当时所用的函数就是我们现在所学的函数，包括将来到了大学学到的可导函数. 事实上，莱布尼兹可能就是在对函数的使用过程中，才积累了发明微积分的基础. 根据国内数学研究者考证，函数翻译到中国是由清朝的一位叫做李善兰的人完成的，这位被称之为中国古代数学家在其《代数学》中这样说道，“凡此变量中函彼变量者，则此为彼之函数”. 笔者此处之所以要将李善兰的这段话引述出来，是为了与下面一段话进行呼应，即著名数学家欧拉在其《微分学原理》中给函数所下的另一个定义：如果某些量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一些量是后一些量的函数. 尽管这种定义与我们现行教材上的精确函数定义尚有区别，但我们已经可以由这些定义看出函数发展的一些端倪了.

研究不同情况下函数的定义，是为了让我们在实施教学时能让学生感受到函数在数学发展史中的分量与力量. 即，函数不是一个机械的、生硬的、抽象的数学概念，而是一个有着丰富发展历史的概念，透过函数概念的历史发展脉络，可以让我们对此概念的理解更为真实，更为合理. 于是，我们的概念学习就进入了思想的阶段.

函数给我们带来的思想是什么？在笔者看来是一种对应关系. 其体现在数学上时，往往是一种符号上的对应关系，其体现在生活中时，往往是不同事物之间的对应关系. 于这当中，我们看到了数学与生活的联系：数学中是有对应的，生活中也是有对应的，数学与生活也是对应的. 而数学中的定义域与值域，我们也可以视作生活中事件的条件. 因此，当看起来纯粹的数学知识有了形象的生活事物作为支撑时，我们就触摸到了函数学习的脉搏，从而为学习函数概念、理解函数概念提供了一种有益的“场”.

[⇩] 函数概念教学，要结合来龙与去脉

在函数概念学习的过程中，如何将理念中的来龙去脉转换成实际的教学行为呢？这是挑战本概念教学的一个问题，甚至也是挑战整个数学教学的问题. 我们对函数概念教学的理念是清晰的，就是将抽象的函数概念放到一个丰富的历史与生活发展的场当中去，让学生在对历史事件的体悟中，在对生活事物的思考中，获得函数的思想，最终以函数这一形式来表达这种思想.

因此，我们在函数概念教学中要做的第一件事，就是营造这种场. 笔者运用的策略是：

首先，让学生到生活中去寻找一种对应关系. 从生活入手，永远是抽象的数学概念教学的第一选择策略，凭着高一学生的智力基础与生活经验的储备，他们是可以寻找到这样的对应关系的，如生活中身高与时间是对应关系（当然也有一定的生长阶段，而恰恰可以与定义域联系起来），如一天或一个月或一年中的温度与时间的关系等. 此后我们还可以让学生到生活中寻找这些对应关系的表达形式，如图表，如图像，尽管这些关系在学生思维中还不能得到有效的数学加工，但可以为后面知识的理解埋下一颗种子. 在这些对应关系事例的列举之后，在这些联系形式得到关注之后，我们再引导学生去提取其中的对应关系，就可以唤醒学生在初中阶段学到的函数基础知识，当被唤醒的知识与生活关系对应起来时，教师要做的就是下面第二个工作.

当然，这里所说的生活既可以是实际的生活，也可以是曾经的数学发展史上的生活，即将函数发展史上的知识加以生活化，然后引入到教学中来也是可以的. 譬如上面所提到的欧拉和莱布尼兹的定义，我们就可以在课堂上加以引述，以作为一种生活素材. 但要注意的是，无论是什么样的素材，让学生看得懂，能感悟，是最重要的.

其次，通过问题的提出，将简单的函数关系引向高级的函数理解，即高中阶段的函数教学内容. 于是，“将我们以前学过的函数知识与现在所学到的集合与映射关系联系起来，我们高中的函数概念是怎样的呢？应当怎样理解呢？”等问题就会出现在学生的面前，这些问题的提出，使得函数概念的学习由感性进入理性的阶段. 譬如学生会思考：如果说我们以前所理解的函数就是两个变量x和y的简单联系，那时所说的“条件”就应当是今天的“集合”，那映射是什么？如何体现？等.

梳理这样的一个教学思路，我们可以发现在函数教学之前，经历了对生活和数学史的感悟；在学习过程中经历了对集合、映射概念下的函数理解，经历了对函数三要素的理解与对所举生活事例的反刍，我们认为学生对函数概念的理解将是深刻的.

[⇩] 总结与反思

作为数学基本元素，概念教学的重要性是不言而喻的，然后在实际中的可操作性，却往往成为拦在我们面前的一个不小的困难. 如果完全遵照教材，我们会发现其与学生之间的一些不适切性，这些不容易为人所觉察的不适切性，往往积累起来之后就会成为学生学习数学的巨大困难，因此在概念教学中，将这些问题消弭于无形，实际是一件很重要的事情.

事实上，通过高中教学的诸多教学类杂志，以及出去听课等活动我们可以看到，概念教学有着很多种突破方法. 但这些方法往往因为视角不够宽阔等原因，往往对某个概念的学习可能会起到相应的促进作用，但却难以起到触类旁通的作用，因此我们更希望有一种能够在更大范围内起作用的方法. 笔者所思考的寻找概念的来龙去脉的思路虽然不是最好的方法，但从笔者自身的教学实践来看，却能够在一定时间内让学生保持对数学的兴趣，也能加强他们对重要数学概念的理解，因此笔者以为是有益的. 只是这一思路需要教师做的事情很多，比如重要数学概念有哪些相应的数学史料和生活知识等，都需要去寻找和加工，这其中需要付出不少额外的努力.

总而言之，高中数学概念的教学要在理论和实践上同时予以重视，要尽量丰富概念的形成过程，以让学生的其他数学知识的建构有一个坚实的基础. 只有通过这样的努力，学生才可能在三年的高中数学学习中实现可持续发展. 以上是笔者的一点浅见，不足之处，还请专家同行批评指正.