谈探究式学习在高中数学概念教学中的应用

摘 要：本文从数学概念的教学地位、要求以及传统概念教学存在的不足出发，提出在概念教学中应注重概念形成性教学，确保学生构建概念的主体地位. 结合函数概念教学，总结出探究式概念教学的基本过程依次为探究概念的产生、内涵概括、概念的描述、概念的辨析、概念的联系. 围绕“问题”探究概念形成教学，有助于学生主体的参与，帮助学生理解概念的内涵与外延，完善概念认知，并且发展学生的思维与能力.

关键词：概念；形成；探究；问题；思维

[⇩] 问题的提出

数学概念是对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，它凝结着数学家的思维，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础. 高中数学课程标准指出：数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解.因此，数学概念教学是高中数学教学之根本.

教材中概念呈现比较直接，没有过多展现概念的来龙去脉，在传统概念教学中，教师往往采用“一个定义，三项注意”的满堂灌方式授课，轻视概念建构的过程. 用解题教学代替概念教学，大大压缩了概念形成过程的教学. 这种“快餐式”概念教学，导致学生对数学概念学习重要性认识不足，主动探究意识欠缺，课堂参与度低，影响学生对概念内涵与外延的理解与掌握，阻碍知识体系的整体建构，不利于学生良好数学思维品质的形成.

[⇩] 数学概念教学与探究式学习

李邦河院士认为，“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧. 技巧不足道也！”概念学习不仅重视知识的应用，更应该突显概念教学的过程，充分展现学生思维活动，体验数学家概括概念的心路历程，体会其中蕴涵的数学思想和方法.

“学校课程中的探究式学习界定为：学生围绕一定的问题、文本或材料，在教师的帮助和支持下，自主寻求或自主建构答案、意义、信息或理解的活动或过程.” 概念教学中，教师预先构建研究数学问题的整体框架，引导学生积极参与概念背景分析、内涵提炼、外延辨别和构建联系等探究活动，理解概念的产生背景、规定和约束条件、语言表述特点、等价叙述、内外联系及基本应用.

[⇩] 探究式学习在数学概念教学的应用

笔者结合高一《函数》概念教学，以“问题”引导探究式教学呈现概念感知、概括、确立、辨析、构建联系的过程，谈谈在概念教学中的一些体会.

1. 探究概念的产生，感知概念

概念的形成是一个积累渐进的过程，教学中要遵循从具体到抽象、知识循序渐进的原则，设计恰当的“先行组织者”， 提供丰富的感性材料，或根据数学概念体系的发展过程与解决实际问题的需要，抓住数学研究中出现的新问题、新矛盾，创设情景并提出渐进性问题. 学生经历具体材料的观察、操作、实验等活动，初步感知概念并形成感性认识. 比如，在引入函数的概念时，为帮助学生回顾旧知识，激活已有认知结构并进行有意义的学习，促使知识结构的整体性构建，教师可设置以下问题.

问题1：大家回忆下初中学过哪些函数模型，你是怎么理解函数定义？

问题2：结合生活经验，你能不能举出函数例子，从变量间的关系分析它为什么是函数关系？（学生间相互交流各自的观点）

问题3：分别观察下面三个例子，用初中学过的函数定义判断变量间构成函数关系吗？函数是不是都有解析式呢？

探究意图：先让学生在记忆中提取学过的具体函数模型，借助脑海中呈现的一次、二次函数及反比例函数的解析式，概括出“变量说”函数定义. 为加深学生从变量间的依赖关系角度定义函数的认识，给予足够的时间让学生寻找生活中函数的例子，表达对函数的理解. 教师呈现学生熟悉的三个实际背景材料，其中②③与学生记忆中函数表示形式不同，引起学生认知冲突，想当然认为其不是函数关系，这时教师引导学生回归定义，用定义理性判断问题，促使学生进一步领悟“在一个变化过程中，有两个变量x，y，如果对于每一个确定值x，y都有唯一确定的值与它对应”的含义，深化对函数变量间依赖关系的认识，感受函数是现实世界中重要数学模型.

2. 探究概念的内涵，体验概念形成

概括概念是概念教学中至关重要的一步，学生在感知具体事物（材料）的基础上，进一步对认识材料进行分析、比较、归纳、抽象、概括其共同属性的数学思维活动，逐步完成对概念内涵的概括. 由于数学对象的特有属性比较隐蔽，需要运用数学的知识、研究方法反复探究、交流才能获得，为引导学生概括函数的属性，帮助学生对概念有清晰的认识，可提出下列问题：

问题4：上面三个实例，函数的表示形式有何不同？它们有哪些共同特征？

问题5：根据对三个实例共同特征的归纲，你认为构成函数关系应具备哪些要素呢？

问题6：你能抽象概括出函数概念吗？如何用集合与对应的语言刻画函数？

问题7：结合三个实例，分别指出两对应数集以及对应关系是什么？

探究意图：以“问题”引导学生探究三个实例，归纳共同特征：①变化过程中有两个变量；②两个变量有其各自变化的取值范围；③两个变量间的对应是确定的，给定任意一个x，都有唯一y与它对应. 由此可知，函数是两个非空数集中元素x，y对应，将“变量说”定义中“在一个变化过程”提炼为“对应说”的“某一对应关系”，概念本质没什么不同. 发现“对应说”是初中运用“变量说”描述两变量依赖关系的提升，它更具有一般性，对应关系不仅可用解析式表示，但f不一定有具体表达关系，也可用图象、表格来刻画. 最后引导学生用自己理解的标准去识别三个实例，用更准确的语言描述各自对应数集及对应关系，初步了解函数三要素.

在概括概念过程中，遵循着由具体到一般，又从一般到具体的研究方法，在形成抽象概念时，总围绕三个具体例子进行剖析，探究其共性，当初步形成概念后，再次用概念验证实例，提升对概念内涵的认知. 教师组织学生交流，鼓励发表不同的见解，相互评价学生的概括思维成果. 学生亲身经历探究函数的内涵，促进对概念的理解，提高学生抽象的概括能力.

3. 探究概念的描述，明确概念

由于数学概念用科学、简练、严谨的文字语言及抽象的数学符号表达，关键字词蕴涵深刻的数学含义，一字之差意思可能会大相径庭，因此数学阅读不同于其他文学阅读，在阅读过程伴随着深度理性思考. 在概念内涵的提炼概括后，教师有必要引导学生对概念的阐述逐字逐句反复推敲，让学生明白概念刻画的对象. 添词少句对概念有何影响，借助反例理解概念表述，由此培养学生深刻严谨的思维及良好的数学阅读习惯. 在明确函数概念，分析形式化符号y=f（x）的结构属性时，教师可提出下列问题.

问题8：你认为函数概念中的关键词有哪些？你怎么理解？（此时引导学生认真阅读教材中的函数定义）

问题9：你怎么理解符号y=f（x）的意义？其中f的数学意义是什么？用对应语言怎么描述函数f（x）=x2？思考“f：2→？，f：？→1”及“f”的意义什么？

问题10：函数中定义域、值域指的是什么？值域与数集B的关系如何？

探究意图：通过阅读教材，对函数概念的初期认识进行纠正、完善，学习概念的严谨表述. 学生对课本概念边读边思考，确定关键词及其对概念的影响，如“非空数集”“对应关系”“任意一个”“唯一”，强调变量x的任意性与y的唯一性. 形象理解两非空数集的对应形式为“一对一”或“一对多”. 函数符号y=f（x）的理解是概念的难点，借助两数集间对应关系形象写成f：x→y，其中x∈A，y∈B，y是x对应的结果，简写成y=f（x）. f的数学意义是某种确定对应法则，理解为“在对应关系f作用下，集合A中变量x与集合B中变量y对应”. 对于函数f（x）=x2，学生要根据函数的对应意义，将形如y=f（x）的结构转化成对应形式f：x→x2，不仅化解符号的抽象性而降低问题解决难度，而且借具体例证理解概念中“一对一”或“多对一”，及对应关系f的意义.

4. 辨析命题，把握概念

问题14：分别在三个引例中，能否构建某一对应关系，使得数集B到A的对应是函数关系？

探究意图：围绕函数概念中易错属性，设置三个用解析式、图象、表格表示的对应关系，降低了对抽象概念的难度，学生依据概念能直观判断命题是否正确，从而结合图象形象化说明概念中“任一个”、 “唯一”的意义. 通过用抽象定义辨析具体实例，基本上完成了从具体到抽象的概括，即从抽象到具体的应用过程.

5. 探究联系，应用概念

[⇩] 探究式数学概念教学的几点思考

1. 提供宽松、有序的学习环境，利于主体参与

学生是课堂的学习主体，衡量教学的有效性关键在于学生是否获得发展. 探究式的概念学习，将课堂的大部分时间留给学生探究、交流，建构知识，让学生真正成为课堂的“主人”，但不能忽视教师的指导作用. 教师以一个组织者、对话者的身份营造民主、自由、宽松的学习环境，调动学生的思考、交流的积极性，让他们成为课堂的探索者、学习者、合作者，保证概念探究中思维得到碰撞，实现主体建构知识.

2. 提出符合主体认知的问题，利于探究达成

学习过程其实是一种自我心理建构的过程，在此过程中学习主体学生只有调整自己内、外部的认知结构，使得主、客观彼此一致，才能建构起新的认知结构. 从知识层面上看，在概念形成上设置“问题链”，以问题带动学生认识概念，这些问题不仅可以围绕概念属性而设置，而且对学生认知造成困扰的如难点、易错、易混点上也可以设置，便于学生理解概念. 从认知层面上看，中学生的思维发展过程往往是由直观形象的事例，经过归纳总结上升到理性思维. 在概念引入中提供的背景材料应是学生熟知、感兴趣的、有意义的例子或者曾经质疑、未解决的数学问题，激发学生的学习欲望. 但由于概念的教学特殊性，问题的设置应趋向于学生思维的最近发展区，跨度和难度不宜太大，对于抽象问题探究，教师可适当采用直观教学手段（如教具、动画、图象）或低级知识作为铺垫，避免学生出现畏惧的情绪.

3. 运用探究手段，利于学生思维的发展

将抽象、深刻的概念有效分解成若干个问题，以“问题”为中心的探究活动，使数学思考更有目的性、有序性和有效性，促进学生对概念形成及本质的理解. 在探究过程中，学生直接参与并采用一切探究手段，如观察、感知、实验、操作、分析、尝试、类比、归纳、抽象、概括、质疑、辨析、内化等思维活动，在实施探究过程中，学生充分展现自己想法，同伴间思维碰撞、相互点拨、引导、探讨、交流、合作等有利于化解概念学习疑难及完善认知. 只有学生参与概念本质特征的概括及认识的主体探究活动，学生思维的全面性、深刻性、严谨性、批判性才得到发展.