基于几何画板应用的教学设计：曲线上一点处的切线

摘 要：在层出不穷、功能繁多的众多现代化多媒体教学软件中，几何画板特有的动画移动、操作简单、兼容性强等功能打破了传统的作图难、作图烦、图形僵化不动等限制，为数学教学，特别是图形问题教学注入了无限的活力. 本篇教学设计注重几何画板在教学中的灵活应用，通过几何画板动态演示教学中的各种图形变换，从而使学生能够形象直观地体会数学思想和方法，提高学习效益.

关键词：几何画板；动态；逼近

[⇩] 教材分析

导数是研究函数最值、函数单调性等重要性质的重要工具，是研究线段科学技术必不可少的工具. 曲线上一点处的切线是《导数及其应用》教学的奠基，它不仅仅是导数意义的几何体现，而且在其研究过程中所涉及的辩证思想本身就具有重要的教育价值，它是激发学生自主学习的动机.

苏教版选修2-2教科书是利用局部“以直代曲”的辩证思想，通过“问题串”的设计，借助几何画板这个现代化的多媒体教学手段，利用形象直观地“放大图形”的朴素方法，逐层深入，帮助学生理解“以直代曲”的辩证思想；再运用几何画板动态地反映由割线逼近切线的过程，体会割线斜率与切线斜率的关系，把“以直代曲”的思想数量化，由学生自己亲身经历和感知由割线逼近变成切线的动态过程. 这样做不但为教师和学生提供了广阔的活动空间，使学生更深刻形象地体会到由“量变到质变”的哲学原理，而且还促进了教学方式和学习方式的转变.

[⇩] 教学目标

1. 通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的几何背景；

2. 借助几何画板，应用形象直观的“放大图形”的朴素方法，帮助学生形象直观地理解“以直代曲”的辩证思想，并介绍数学史，培养学生的爱国热情；

3. 在理解“以直代曲”思想的基础上，运用几何画板的动点功能，掌握“割线逼近切线法”，并会用“无限逼近法”求曲线在一点处的切线的斜率.

[⇩] 教学重点

1. “以直代曲”的思想的渗透；

2. “割线逼近切线法”的掌握和初步运用.

[⇩] 教学难点

“以直代曲”思想及“割线逼近切线法”的理解.

[⇩] 教学方法

情境·提炼·引导·探究.

[⇩] 教学手段

多媒体几何画板课件辅助教学.

[⇩] 教学过程

1. 复习回顾

3. 建构数学

（1）在如何刻画曲线在某一点处的变化趋势的驱动下，提出“放大图形”的朴素方法；

学生在如何刻画曲线在某一点处的变化趋势的驱动下，为能较清楚观察出曲线在某一点处的变化趋势，“放大图形”就成了一条切实可行的方法，为此笔者设计了以下探究步骤：

探究1：通过将P点附近的曲线放大，你能得出怎样的结论？

解决方法：利用几何画板的作图、放大功能，借助图形的视觉效果，形象、直观地放大图形，使学生较易接受和理解“以直代曲”.

学生活动：你能举出平时接触过的“以直代曲”的例子吗？

设计意图说明：对于图形的放大功能和处理的易操作性，几何画板在此时的教学中能够得到很好的体现，让学生感知到“以直代曲”的图形依据，进而总结出“以直代曲”的辩证思想. “化曲为直、以直代曲”的辩证思想实现了整体与局部的互换，使得以常量代替变量成为可能，有利于将复杂问题转化为简单问题.

链接：割圆术与圆周率

中国古代三国时期的刘徽与南北朝时期的祖冲之利用割圆术曾经创造了π值的世界纪录，并保持一千多年之久.

解决方法：利用几何画板工具箱中的圆规工具画圆，结合几何画板特有的编辑参数值功能，对n赋值，运用割圆术计算圆周率.

课后探究：试以n=6和12为例研究用割圆术计算圆周率π的方法.

设计意图说明：由数学中的经典实例出发，加深学生对“以直代曲”辩证思想的理解和掌握. 通过几何画板的编辑参数值功能编写数学教学软件，展示“以直代曲” 思想在解决数学问题中的可操作性和实际应用性.

（2）寻找经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线L

探究2：如图2所示，直线L1，L2为经过曲线上一点P的两条直线.

（1）试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线.

（2）在点P附近你能作出一条比L1，L2更加逼近曲线的直线L3吗？

（3）在点P附近你能作出一条比L1，L2，L3更加逼近曲线的直线L4吗？

解决方法：课前利用几何画板的动态展示功能，编写好曲线上割线逼近切线的功能，通过不断抛出“问题串”，逐层深入地讲解和演示，让学生形象生动地体会割线逼近切线的关系.

学生活动：你还能作出比L1，L2，L3，L4更加逼近曲线的直线吗？怎样才能找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线L？你能否通过上述过程的展示，归纳总结一下切线的定义？

设计意图说明：由几个层层递进问题的设置，使点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C，帮助学生逐步感知割线逼近曲线变成切线的过程. 同时结合几何画板的作图、动画等功能，使点Q无限逼近点P，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线，形象化展示由割线逼近切线、由割线斜率过渡到切线斜率的过程，让学生能够更直观化地体会“以直代曲”思想数量化的意义和过程，理解曲线切线的逼近定义.

4. 数学运用

（1）简单运用

书后习题：练习1“利用直尺，用割线逼近切线的方法作出下列曲线在P点处的切线.”

解决方法：先由学生自行作图处理，最后运用几何画板作图中的动态功能进行逐一演示，再次强化和巩固“割线逼近切线”的数学方法.

设计意图说明：设计以上简单运用，目的是为了让学生亲手应用“割线逼近切线”的作图方法，体会切线定义的形成过程，为接下来的学习和研究做好准备.

（2）深入运用

设计意图说明：练习1、练习2主要是巩固学生对本节课知识点的理解，有助于学生做到融会贯通，加深对知识点的理解. 这两道题目的设置在于让学生从形和数两方面、多层次地运用知识点，提高学生对知识的应用能力，进而完成对知识点的理解和巩固.

5. 回顾小结

（1）思想：已直代曲；

（2）方法：割线逼近切线；

（3）知识：计算曲线上一点处切线的斜率.

6. 课外作业