巧用三角函数求解与圆相关的最值问题

摘 要：在处理圆或扇形内接矩形的面积问题中，常常采用角度作为刻画面积的变量，如何找到合适的角表示内接矩形的面积就是解决问题的关键。圆的参数方程又给出了角度和位置的关系，所以借助三角函数强大的变形力量可以巧解圆的最值问题。

关键词：三角函数；圆；最值；变量

求解与圆相关的最值问题是平面几何中的常见问题，常常需要利用基本不等式线性规划等解决，这个时候基本上要面临两个变量的问题。而圆又与角息息相关，如果找到合适的角，利用三角函数强大的变形力量有时会为我们带来意想不到的效果。

一、关于内接图形的面积最值问题

1.圆的内接矩形问题

例1.如图所示，半径为R的⊙O的内接矩形为ABCD，求矩形 ABCD面积的最大值。

分析：圆的内接矩形并不是固定的，但是其对角线一定经过圆心，所以可以用对角线与一边所成的角来刻画矩形的变动。

2.推广至半圆的内接矩形问题

变式1.如图所示，半径为R的半圆O的内接矩形为ABCD，求矩形ABCD面积的最大值。

3.再推广至扇形的内接矩形

例2.如图，求圆心角为60°，半径为1的扇形AOB内接矩形 PQMN面积的最大值。

另外，扇形的内接矩形还有其他形式，如图，使矩形的一边平行于弦AB作出内接矩形PQMN。而这样的内接矩形，我们以扇形的角平分线为分界将这个扇形分成两个相等小的扇形。

S矩形PQMN=2S矩形PEDN

接下来小扇形的内接矩形就可以类比第一种方法了。

另外如果圆心角为钝角，可以参考第二种做法分成两个全等的小扇形，即转换为圆心角为锐角来解决。

总结分析这几种情况都有一个中心思想，就是找出哪个量哪

个点的变化导致我们所求的量变化。那么如何抓住这个原始动点呢，可以找到一个参数，让它的变化代替原始动点的变化，最终将所求变成关于这个参数的函数形式，进而利用函数来解决最值问题。

二、与圆相关的最值问题

三、反思总结

用代数方法解决几何问题是解决与圆相关的最值问题的一种常见方法，其难点是找到合适的变量。角度可以准确地表示圆中的边长、位置等关系，所以我们利用三角函数求解圆中的最值问题，借助三角函数的丰富变形形式，顺利解决问题。

（作者单位 江苏省徐州市第七中学）

编辑 谢尾合