立足起点 顺应建模

《长方形与正方形的面积计算》是学生理解了面积的含义和面积单位，学会了应用面积单位直接度量面积的基础上学习的，是学生第一次学习平面图形的面积计算（由度量演进到计算），长方形和正方形面积计算公式又是推导其他平面图形面积公式的基础，它提供了度量和计算面积的基本原理和方法。为了让课堂教学更具有针对性，教学前我对学生进行了前测，以便立足起点对学生学习进行有效的指导，引导学生建立长方形与正方形面积计算模型。

一、教学前测

从前测的结果统计与分析，可以把握学生相关的学习起点：

经验起点：通过前期面积与面积单位的学习，学生明显具备“用面积单位来度量图形的面积”这一学习经验，已经占到近75%，为本节课面积的计算公式学习打下扎实的经验基础。

知识起点：绝大多数同学已经明确面积的意义，知道面积单位的数量对应面积的大小。虽然有近33%的同学会通过公式来计算长方形的面积，但从后续的访谈来看，面积为什么可以通过“长×宽”来计算，学生是不明确的。

心理起点：根据范·希尔夫妇关于几何思维水平的理论，三年级的孩子的几何思维水平处于“直观”阶段，不具备描述、分析能力，需要教师在提供信息的基础上加强定向指导。

二、教学对策

通过本节课的学习，要建立长方形与正方形面积计算的数学模型（长×宽），使学生由一维空间进入二维空间。

1.通过操作、想象，观察并归纳得出长方形面积=长×宽，长表示一行铺几个面积单位，宽表示可以铺几行。

2.通过多媒体演示及想象相结合的方式，让学生感受长和宽长度的变化会引起长方形面积变化，注重学生二维观念的培养与建构。

三、教学实践

（一）动手操作，初步感受面积的大小与长、宽的长度有关

1.出示如图1长方形，你知道它的面积吗？

2.学生独立思考。

3.在学生回答的基础上，引导学生用“1平方厘米”的面积单位去铺（度量）。

4.学生动手操作。

5.反馈两种方案。

6.对两种方案进行沟通，获得结论。

（二）动脑想象，感受面积的变化是由于长、宽的变化所引起的

1.宽不变长变，引起长方形面积变化

（1）课件将长方形由原来的5厘米延长到6厘米

师：请大家仔细观察：你发现了什么？

生1：宽没变，长变了，面积也变大了。

师：大了多少，大在哪里？

生2：大了3平方厘米，因为增加了右边的一列。

师：现在的面积是多少？

生3：6×3=18平方厘米。

师：你这里的6、3分别表示什么？为什么每行有6个，有3行？

生3：因为长是6厘米说明可以每行铺6个1平方厘米的面积单位，可以铺这样的3行。（见图3）

师：大家真会学习，我们没有动手铺，但我们可以在脑海里铺也能解决这个问题。

（2）师：想象一下，如果宽不变，长缩短1厘米，面积变大还是变小了呢？

生4：变小了，小了1列，也就是3平方厘米。

生5：现在的面积是4×3=12平方厘米。（见图4）

2.长不变宽变，引起长方形面积变化

（1）课件出示原图

刚才我们研究了在宽不变的情况下，长的变化引起了长方形面积的变化。现在我们再来研究长不变，宽的变化会不会引起长方形面积的变化，想一想？

①长不变，宽延长1厘米，面积会怎么变化，为什么？

②长不变，宽缩短1厘米，面积会怎么变化，为什么？

根据学生的回答出示相关的图示来检验。（见图5、图6）

四、总结归纳，构建模型

师：刚才我们通过操作和想象，验证了长方形的面积与长、宽有关。

师：看到长想到什么？看到宽想到什么？

生1：长就代表一行可以铺几个小正方形，宽就代表可以铺几行，也就是几个几的问题。

生2：在宽不变时，长越长，面积就越大；长越短，面积就越小。

生3：在长不变时，宽越大，面积就越大；宽越短，面积就越小。

师：长方形的面积大小是由长与宽的长度来决定的，且长方形的面积等长×宽。

五、应用模型，解决问题

1.求右图长方形的面积。

师：怎么计算？

生1：5×4=20（平方厘米）

师：为什么可以这样算？

生2：因为长方形的面积计算公式就是长×宽。

师：如果我要将长方形的面积减少8平方厘米，可以怎样操作？

生3：宽不变，将长缩短2厘米，就能减少两列，也就是8平方厘米。

师：如果我要将长方形的面积增加5平方厘米，可以怎样操作？

生4：长不变，将宽增加1厘米，就能增加5平方厘米，也就一行。

师：这时候，长方形已经变化成为正方形了，那么正方形的面积怎么计算呢？

……

2.在方格纸上画面积为6平方厘米的小长方形。你能画几个？

（结合学生作品）

师：你发现了什么？

生1：面积相等，大小不一样。

师：在你所画图形的基础上画面积为24平方厘米的长方形，你打算怎么画？

结合学生回答，分别反馈：长不变，宽变；宽不变，长变；和长、宽都变三种情况。

六、教学思考

《义务教育数学课程标准（2011年版）》也指出，数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上。因此，数学教学活动必须把握好学生的学习起点，在学生原有认知水平上组织开展学习活动。本节课我通过前测的方式，把握了学生的学习起点，并基于起点设计了一系列的教学过程，引导学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型的过程，发展空间观念。

1.由操作到想象，建立数学模型

从前测的结果来看，学生通过对面积与面积单位的学习及练习，已经具备了用面积单位去度量图形面积的意识和操作经验。因此，要让学生从实际问题中跳出来，形成一定的抽象概括能力。教学中，对于长方形面积公式的推导，笔者先是以“铺”的操作为基础，通过铺的过程，让学生明确长就表示一行有几个格子（面积单位），宽表示有这样的几行，初步感受长方形的面积与长、宽的长度有关。因为学生课前已经有了相关的经验基础，所以本节课笔者又安排了想象的设计。通过对“宽不变，长增加，引起长方形面积增加”环节的直观演示，进而让学生想象宽不变，长缩短及长不变、宽变，长方形面积相应变化的情形。借助学生的想象与表达，让学生感受到长、宽的变化会引起长方形面积的变化，从而获得长方形面积计算的模型：长×宽。

2.由静态到动态，建立二维观念

图形与几何领域的教学，时刻都不能忽略对学生空间观念的培养。在学习了线段、周长等相关知识之后，学生的一维观念已经建立。而面积的学习，将一维的观念拓展到了二维，那么如何帮助学生建立这种二维观念？针对学生的几何思维水平，笔者设计两个环节来辅助。在新授的环节中，借助媒体直观地演示，依次改变长方形的长、宽，将长方形面积相应的变化过程动态地呈现出来，让学生直观地感受并理清长方形横向与纵向的变化过程，从运动的角度帮助学生初步建构二维观念；在练习巩固的环节中，笔者先通过让学生思考要将长方形面积增大或减少该如何操作，让学生自己判断并选择变化长或宽，从而在分析、选择的过程中建立横向与纵向两个维度。后又以“方格”为依托，让学生尝试增加长、增加宽、或者长、宽同时增加的方法将原图面积扩大4倍。从操作的角度帮助学生感悟到由于长、宽长度的变化，引起的长方形面积的变化，帮助学生建立二维观念。令人欣慰的是，在课堂小结当中，果真有学生提到“要改变长方形的面积，可能通过改变长、改变宽甚至同时改变长与宽的方式来实现”，这节课的空间观念培养可见一斑。

小学数学的课堂教学如何让学生的学习富有挑战性，在传统教学的基础上体现出更多的生机与活力，必须立足学生的起点，要准确把握学生的起点，教学前测是行之有效的方法之一。依据前测，发现起点；立足起点，创新设计，可以使我们的课堂教学达到画龙点睛的效果。

（作者单位 浙江省余姚市东风小学教育集团）

编辑 谢尾合