尴尬的“无理数”

本节内容选自《义务教育课程标准实验教科书》（苏教版）第一章第二节内容《有理数与无理数》，无理数概念比较抽象，初一新生，由于年龄、知识和生活的局限，其思维处在具体形象思维为主的阶段。认识一个事物、理解一个数学道理，主要是凭借事物的具体形象，所以学生探究的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在无理数的理解上有一定的难度。

【教学过程实录】

一、创设情境

1.议一议

师：我们上了六年多的学，学过不计其数的数，概括起来我们都学过哪些数呢？

生1：在小学我们学过自然数、小数、分数。

师：我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充了范围，从形式上来看，我们学过的一部分数又可以分为整数和分数。我们能够把整数写成分数的形式吗？如：4，-2，0。

师：0呢？

（班级鸦雀无声）

师：0除以任何数都等于0。

（引出有理数的定义）

2.想一想

师：小学里我们还学过有限小数和循环小数，它们是有理数吗？有限小数，如0.3，-3.11…能化成分数吗？

师：它们是有理数吗？

生（齐声回答）：它们是有理数。

师：这些是什么小数？

生（齐声回答）：循环小数。

师：反之，循环小数也能化为分数的形式，它们也是有理数！

循环小数如何化为分数可以一起学习书P17、读一读。

二、合作、探究、展示

有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题。

1.试一试

有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形。

师：设大正方形的边长为a，a满足什么条件？

生10：a是正方形的边长，所以a肯定是正数。因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a2=2。

师：a可能是整数吗？

师：那a是几点几呢？

生12：因为2个正方形的面积分别为1，1，而面积又等于边长的平方，所以，面积大的正方形边长就大，因为a2大于1且小于4，所以a大致为1点几，即可判断出a是大于1且小于2的数。

师：a可能是分数吗？

2.算一算

边长a 面积S

（1）a肯定比1大而比2小，可以表示为1

生：a=1.41421356……，还可以再继续进行，且a是一个无限不循环小数。

（2）师：请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值。边长b会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5？请大家分组合作后回答。（约5分钟）

3.有理数与无理数的主要区别

（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。

（2）任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能。

三、巩固练习（略）

四、课堂小结（略）

五、布置作业（略）

【教学反思】

数学概念比较抽象，无理数对于初一新生来说更加抽象，笔者的经验证实了这一点，无理数内容放在初一第一章第二节是否合适，有待考证。如果单纯抽象地进行无理数概念教学，那么教学效果一定不会好，因此，我在无理数概念教学的过程中，做到细心、耐心，尽量从学生日常生活中所熟悉的事物情形开始引入。这样，学生学起来就有兴趣，思考的积极性就会高。

（作者单位 江苏省南京市六合区新集中学）

编辑 谢尾合