具连续变量的脉冲多时滞差分方程的振动性

葛礼霞， 刘海明， 姬春秋

(牡丹江师范学院 理学院， 黑龙江 牡丹江157012)

差分方程是一个很重要的数学工具，差分方程解的性质的研究不仅在理论上而且在实际应用中都是非常重要的，特别是近年来，随着管理、生物等自然学科的发展，在许多领域提出了由差分方程描述的数学模型.具有离散变量的差分方程的解的振动性研究已有许多好的结果[1-3].与此同时，具有连续变量的时滞差分方程也得到了人们的广泛研究[4-5]，在文献[6]中研究了如下具有连续变量的非线性差分方程

得到了方程振动的两个充分条件，在文献[7]中作者利用微分中值定理研究了具有连续变量的差分方程

解的振动性，得到了方程振动的一个充分条件.因为，考虑脉冲现象对状态的影响，能够更深刻、更精确地反映事物变化的规律，也是十分必要的.随后脉冲也被引入到微分差分方程中来[8-10]，而这类方程在实际中也是大量存在的.

考虑具连续变量的脉冲时滞差分方程

(1)

rδ=min{δ-τ,δ-σj,j=1,2,…，m}

任给Φ∈C([rδ,δ],R)，称函数x:[rδ,∞]→R为方程(1)满足初始条件

x(t)=Φ(t),t∈[rδ,δ]

(2)

的解，x(t)在[rδ,∞]几乎处处连续，在tk左连续，对t∈[δ,∞]满足方程(1)，对t∈[rδ,δ]满足方程(2)，方程(1)的解称为振动的，如果它有任意大的零点，否则称为非振动的，若方程(1)的每一解都是振动的，则称方程(1)是振动的.方程(1)的辅助方程为

(3)

方程(3)满足初始条件(2)的解y(t)是在[rδ,∞)几乎处处连续的，在tk(tk>δ)处右连续的函数.

1 两个引理

引理1[11]若存在自然数K，使当k>K时，有bk>-1，则方程(1)振动，当且仅当方程(3)振动.

2 主要结果

(i)对任意大的T0，都存在T>T0,使pi(t)在区间[T,T+2σ*+(σ0-τ)]上非负；

(4)

最终成立.

证明由引理1可知，欲证方程(1)振动,只需证方程(3)振动即可.

设y(t)是方程(3)的任意一个解，要证方程(3)振动，只需证对任意大的T0，均可找到一有限区间，使y(t)在此区间上有零点即可.取T0充分大，由条件(i)可知，存在T>T0,使pi(t)在区间[T,T1]上非负，下面只需来证在区间[T,T1]上y(t)有零点即可，这里T1=T+2σ*+(σ0-τ).

用反证法.假设y(t)在区间[T,T1]上恒不等于零，不妨设y(t)>0，当t∈[T+σ*,T1]时，有

y(t)>0,y(t-τ)>0,y(t-σi)>0,

i=1,2,…，m

从t-τ到t对方程(3)积分得

即

(5)

(6)

且

z′(t)=y(t)-y(t-τ)≤

ω′(t)=z(t)-z(t-τ)≤0

(7)

ω(t)≤τz(t-τ)

即

(8)

由(6)式、(7)式和(8)式有

(9)

对(9)式两边从T+2σ*到T1积分，再由(4)式可得

ω(T1)≤ω(T+2σ*)-

这与ω(T1)≥0矛盾，故方程(3)无最终正解，证毕.

定理2设bk>0对所有k=1,2,…，成立，pi(t)是非负实数，若时滞微分方程

证明由引理1可知，欲证方程(1)振动,只需证方程(3)振动即可.

用反证法.设y(t)是方程(3)的一个最终正解，仿照定理1的证明，可得

振动矛盾，方程(1)振动，证毕.

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