亚纯p-叶函数的一个新子类

周 茜

(江苏食品职业技术学院 基础教学部, 江苏 淮安 223003)

1 理论基础

定义1[1]设∑p表示形如

p∈N={1,2,3,…}

(1)

且在U0={z∶z∈c,0<|z|<1}=U(〗0}内解析的p-叶函数的全体组成的函数类.

定义2[2]设fj(z)∈∑p(j=1,2)表示为

且

(f2*f1)(z)

则称(f1*f2)(z)为f1(z)和f2(z)的Hadamard卷积.

定义3[3]设函数φp(a,c;z)为

z∈u0;c∉{0,-1,-2,…}

(2)

其中

(b)n=b(b+1)…(b+n-1),n∈N

由函数φp(a,c;z)，可以定义下面一个新的线性算子.

定义4设f∈∑p，定义关于∑p的线性算子Lp(a,c)如下：

Lp(a,c)f(z)=φp(a,c;z)*f(z)

(3)

可证得

(4)

z(Lp(a,c)f(z))′=aLp(a+1,c)f(z)-

(a+p)Lp(a,c)f(z)

(5)

由线性算子Lp(a,c)定义一个函数类.

(6)

其中：α,μ为实数且满足0≤α<1,μ>0；λ∈c,Re{λ}>0;g(z)∈∑p且满足

0≤δ<1;z∈U

(7)

为了建立主要结论，需以下一些引理.

注意到，当z∈U时，上述级数是绝对收敛的，因此它是单位圆内的解析函数.

其中

Re(c)>Re(b)>0

(8)

2F1(a,b;c;z)=2F1(b,a;c;z)

(9)

(10)

(11)

2 主要结论

定理1设λ∈C,Re{λ}>0,a∈R/{0},f(z)∈∑p满足以下条件：

Re{(1-λ)(zpLp(a,c)f(z))μ+λzpLp(a+1,

c)f(z)·(zpLp(a,c)f(z))μ-1}>α,

0≤α<1;μ>0;p∈N;z∈U

(12)

则

Re{zpLp(a,c)f(z)}μ>α+(1-α)(2ρ-1)

(13)

其中

(14)

证明设

q(z)=(zpLp(a,c)f(z))μ

(15)

则q(z)在U内解析，且q(0)=1.

由公式(5)的结论可得

(1-λ)(zpLp(a,c)f(z))μ+λzpLp(a+1,

c)f(z)(zpLp(a,c)f(z))μ-1=

故由条件(12)，有

B厂日处理规模为1 800 t/d，设3台600 t/d垃圾焚烧炉，设计垃圾热值为7 530 kJ/kg，焚烧炉MCR工况理论烟气量约82 000 m3/h，烟气中NOx理论原始值约350 mg/m3。

由引理2可知，

Re{q(z)}>α+(1-α)(2ρ-1)

其中

设Re{λ}=λ1>0，有

利用式(8)～式(11)可得

则定理1得证.

推论1设λ∈R且λ≥1，若f(z)∈∑p满足

λzpLp(a+1,c)f(z)}>α,

0≤α<1;a∈R/{0};p∈N;z∈U

(16)

则

Re{zpLp(a+1,c)f(z)}>

α+(1-α)(2ρ*-1)(1-λ-1),z∈U

其中

证明利用结论

λzpLp(a+1,c)f(z)=[(1-λ)zpLp(a,

c)f(z)+λzpLp(a+1,c)f(z)]+

(λ-1)zpLp(a,c)f(z)

(17)

即可证得推论1.

定理2设函数f(z),g(z)∈∑p,g(z)满足条件(7).若

0≤α<1;0≤δ<1;a∈R/{0};z∈U

(18)

则

(19)

且

0≤α<1;0≤δ<1;a∈R/{0};z∈U

(20)

证明设

(21)

则q(z)在U内是解析的，且q(0)=1.

设

(22)

由条件可知,在U内Re{Φ(z)}>δ(0≤δ<1).

通过计算可得

其中

由条件(18)可得

{Ψ(q(z),zq′(z);z∈U)}⊂Ω=

这就说明,对一切z∈U,有Ψ(ir2,s1)∉Ω.

因此,由引理1可得Re{q(z)}>0(z∈U)，式(19)的结论得证.

将式(19),式(20)代入下列等式:

便可证明式(20)，从而定理2得证.

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