基于非线性规划模型的分布式声定位算法研究

叶 永，陈建峰，张 竹，冷 欣

(西北工业大学航海学院，陕西西安710072)

0 引言

随着无线传感器网络技术的兴起，声源定位技术［1，2］与无线传感器网络技术［3］相结合，产生了声源分布式定位系统。目前，测向交叉定位法在声源分布式定位系统中有广泛的应用，如低空声目标定位［4］、水下监视［5］、机器人听觉系统以及智能雷场［6］等。

测向交叉定位法需要每个传感器节点获得目标的方位信息［7］和传感器阵列节点布署位置信息，经过三角计算，就可以得出目标的位置。该定位方法计算量小，实时性强，易于工程实现。当采用测向交叉定位法进行节点信息融合时，为使估计误差尽可能小，人们提出了最大似然估计法［8］，但其计算复杂，运算量大，在实际中难以得到应用。而最小二乘估计算法［9］则通过数学上的近似，减少了非线性运算量，当区域内可用节点数目较多时，也能有效的保证定位精度，因此，应用比较广泛。

当使用最小二乘估计算法时，会出现距离声源越远的节点对定位精度影响越大的现象，这与实际应用相矛盾。如果优先选取距目标声源较近的节点进行运算以提高定位精度，又势必会造成未参与运算的节点定向信息的浪费。为了解决这些矛盾，本文尝试利用非线性规划理论建立测向交叉定位法的非线性规划模型，通过与最小二乘估计算法比较，分析其定位精度，并给出实际条件下的算法优选建议。

1 数学模型与求解方法

1.1 测向交叉定位法

分布式麦克风阵列的测向交叉定位模型如图1所示，探测区域内有若干个节点 N1，N2，…Nn。节点 Nk，k∈(1，n)获得的目标方向角为α^k，理想情况下，各个节点同一时刻对同一声源目标的估计结果连线的交点即为目标的位置。

实际应用时，由于测量误差、系统误差的影响，各节点估计出的方向角连线不会交汇于一点，可能是一块区域，这就需要选取适当的算法对声源目标位置进行融合估计。

图1 测向交叉定位法基本模型Fig 1 Basic model of direction finding cross localization

1.2 最小二乘模型

最小二乘估计是一种数学优化技术，它通过使误差的平方和最小来寻找数据的最佳函数匹配。在解决分布式声定位问题时，出现了多种最小二乘模型［10～13］，现在介绍一种应用较为广泛的模型——改进的伪线性最小二乘算法模型［14］。

假设目标的估计位置为(^x，^y)，探测区域内共有n个节点，Nk(xk，yk)，k∈［1，n］表示第k个节点的坐标，^αk，k∈［1，n］表示第 k个节点的定向角度，dk，k∈［1，n］表示声源目标到第k个节点的距离，则可以得到如下方程

由式(1)可得

令

其中，C为n×1的矩阵，H为n×2的矩阵，带入式(2)可得目标的估计位置坐标

1.3 非线性规划模型

非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，它主要研究一个n元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。

由1.1节的数学模型出发，假设目标的估计位置为(^x，^y)，探测区域内共有n个节点，Δ^α为节点的测量偏差，^αk，k∈［1，n］表示第 k个节点的定向结果。对于任意节点Nk(xk，yk)，k∈［1，n］来说，构建模型如下

两边同时取正切，令δ=tanΔ^α，可得

化简式(6)可以得到

或

将不等式左边项分解后可以发现，左边是含有δ，x，y，δx，δy的三元二次代数式，属于非线性规划范畴，可以用非线性规划法解决。因此，分布式声源定位可以看成由δ，x，y三变量决定，由2k个不等式约束的非线性规划问题。即可以得到如下非线性规划模型

或

其中，式(9)为目标函数，式(10)或式(11)为线性约束条件，将目标函数与线性约束条件相结合，运用一定的优化方法，就可以确定目标声源的位置。

1.4 非线性规划模型求解方法

以上建立的非线性规划模型问题可以利用数学软件Matlab求解。在运用Matlab软件对以上模型的定位误差进行求解时，使用到了Fmincon函数。该函数提供了大型优化算法和中型优化算法。默认时，如果Fun函数提供了梯度，并且只有上下界存在或者只有等式约束的时候，Fmincon函数将选择大型算法。当既有等式约束又有梯度约束时，使用中型算法。Fmincon函数的中型算法使用的是序列二次规划(SQP)法，其在每一步迭代都是求解一个二次规划问题，并更新拉格朗日Hessian矩阵，直到趋近于最优值。

2 算法仿真分析

2.1 远节点对定位精度影响

由于最小二乘估计会造成离声源目标距离越远的节点对定位结果的影响反而越大，而非线性规划法中假设各节点的定位偏差Δ^α是统一的，并根据节点距声源目标的距离而做出相应的调整，当δ一定时，距离目标声源远的节点对估计坐标的变化没有近节点敏感，即远节点对定位精度的影响比近节点小，消除了最小二乘估计算法的矛盾现象。为验证此理论进行以下仿真。

如图2所示，4个节点的位置坐标分别为 N1(350，100 m)，N2(550，100 m)，N3(350，300m)和 N4(550，300m)，Q为4个节点所包围的误差较小的监测区域。现将节点N4以为单位往东北方向平移，观察区域Q内系统定位误差的平均值。仿真结果如表1所示。其中，ε为N1，N2，N33个固定不动的节点通过最小二乘算法求得的系统定位误差平均值，ε1为所有4个点通过最小二乘算法求得的系统定位误差平均值，ε2为4个点通过非线性规划法求得的系统定位误差平均值。

图2 四节点布局示意图Fig 2 Layout diagram of four nodes

表1 远节点对定位精度的影响Tab 1 Effect of remote nodes on positioning precision

由表1的数据可以看出:随着节点N4的远离，在4节点的情况通过最小二乘算法得到的系统定位误差平均值显著增加，当N4处于(750，500m)时定位误差和3节点的情况相近，再向外平移之后，则定位效果反而不如3节点的情况。而非线性规划模型下，虽略有增加，但增幅很小。距离远的节点对定位结果的影响比使用最小二乘算法时要小得多。

2.2 节点位置随机时算法稳健性分析

在2.1节中，假设分布式麦克风阵列4个节点布放形式已知。但实际应用中，往往节点的位置是随机的，而且参与定位的有效节点的数目也会不确定，这里将重点分析节点位置随机的情况下节点数目对算法稳健性的影响。

如图3所示，在200 m×200 m的监测区域内以正东为x轴正方向，正北为y轴正方向建立直角坐标系，假设单个声源Q位于该监测区域内，且真实坐标为(100，100 m)。各定向节点位置随机，即节点的x，y坐标值为0～200 m之间的随机数，且符合均匀分布。每个节点除了固有的定向离散误差外，还受到背景白噪声的影响，假设背景白噪声对第k个节点的定向结果施加的影响nk(弧度)，且nk～N(0，σ2)，现利用最小二乘估计算法和非线性规划法对声源Q的位置进行估计，以测量1000次定位误差的平均值为基准进行比较，结果如图4～图6所示。

图4 3个节点随机布放时定位误差与噪声方差的关系Fig 4 Relationship between positioning error and noise variance when three nodes are distributed randomly

图5 10个节点随机布放时定位误差与噪声方差的关系Fig 5 Relationship between positioning error and noise variance when ten nodes are distributed randomly

图6 20个节点随机布放时定位误差与噪声方差的关系Fig 6 Relationship between positioning error and noise variance when twenty nodes are distributed randomly

图4为3个节点随机布放在监测区域的情况。由图可知，当背景白噪声较小时，2种算法的定位精度相似。而随着背景噪声影响不断加强，二者的定位性能出现变化，但非线性规划法始终占优。说明3个节点的情况下，非线性规划法在存在背景噪声时更加稳健。

由图4至图6对比可知，当监测区域内只有3个可用节点时，非线性规划法的定位性能有明显优势;当有10个可用节点时，2种算法的定位性能相近;当可用节点数目增加为20个时，最小二乘法的定位精度反而更高。

3 结论

1)使用非线性规划模型进行定位时，距离远的节点对定位结果的影响比使用最小二乘算法时小得多;

2)存在背景噪声，节点数目不同且位置随机摆放的情况下，2种方法呈现不同的优劣:在节点数目较少(如5个和5个以下)的情况下，非线性规划法占有较大的优势;最小二乘算法比非线性规划法更适合在节点分布密集的情况下使用。因此，在实际应用中要根据区域内可用节点的数目情况选取不同的算法。

［1］高 为.无源定位技术研究［D］.上海:上海交通大学，2006.

［2］Fallon M F，Godsill SJ.Acoustic source localization and tracking of a time-varying number of speakers［J］.IEEE Transactions on Audio，Speech，and Language Processing，2012，20(4):1409-1415.

［3］周新宇，杨风暴，吉琳娜，等.一种多传感器信息融合的可能性关联方法［J］.传感器与微系统，2012，31(4):33-35.

［4］马驰州，滕鹏晓，杨亦春，等.分布式实时被动声定位系统研究［J］.探测与控制学报，2007，29(1):18-22.

［5］王 彪，李 宇，黄海宁.水声传感器网络目标协同定位方法研究［J］.系统仿真学报，2009，21(19):6174-6177.

［6］孙 勇，赵俊渭，张银兵，等.一种多基地声纳的联合估计定位算法［J］.鱼雷技术，2009，17(2):33-36.

［7］程 萍，陈建峰，马 驰，等.十字阵短时宽带声源实时定向算法［J］.应用声学，2012，31(2):123-129.

［8］Chen JC，Hudson R E，Yao Kung.Maximum-likelihood source localization and unknown sensor location estimation for wideband signals in the near-field［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2002，50(8):1843-1854.

［9］Yan Yongsheng，Wang Haiyan，Wang Xuan.A novel least-square method of source localization based on acoustic energy measurements for UWSN［C］∥IEEE International Conference on Signal Processing，Communications and Computing(ICSPCC)，2011.

［10］李 淳，刘聪峰，廖桂生，等.约束最小二乘无源定位算法的求解与分析［J］.系统工程与电子技术，2012，34(2):221-226.

［11］刘若辰，王英民，张 群.基于线性最小二乘估计的双基地声纳定位优化算法［J］.鱼雷技术，2011，19(6):428-432.

［12］张小凤，应 欢.基于加权最小二乘的多基地声纳定位算法研究［J］.计算机仿真，2011，28(8):393-396.

［13］张晓芳，李国徽，王 娟.无线传感器网络中的节点自适应周期定位［J］.计算机工程与应用，2011，47(29):117-120.

［14］徐建华，任 超.基于传感器网络的水下声音源定位方法研究［J］.计算机测量与控制，2011，19(7):1681-1683.