一类椭圆方程组Neumann问题正解的唯一性

魏晓丹,周文书,张 友

(1. 大连民族学院 计算机科学与工程学院,辽宁 大连 116600;2. 大连民族学院 理学院,辽宁 大连 116600;3. 大连理工大学 数学学院,辽宁 大连 116024)

考虑如下椭圆方程组Neumann问题正解的唯一性:

(1)

问题(1)与如下稳态捕食-食饵系统有紧密联系：

(2)

(3)

定理1设N≥2. 如果μ>2λ,则问题(1)存在唯一正解.

(4)

因此,只需证明当μ>2λ时,(1,1)是问题(4)的唯一正解.

(5)

(6)

由于式(6)的证明蕴含在式(5)的证明过程中,因此仅证明式(5). 为此,做变换φ=v/u,则v=φu,对该等式两边微分两次得

Δv=uΔφ+2φu+φΔu,

(7)

从而有

(8)

将式(4)代入式(8)得

(9)

其中α=λ/μ. 由于0<α<1/2,因此

根据引理1中结论2)有

于是

(10)

利用引理1中结论1)得

由此及式(9)可得

又由引理1中结论1)得

于是

(11)

故

假设当n=k(k≥2)时,式(5)成立,即

利用左边不等式并注意到式(9)得

由引理1中结论2)得

于是

(12)

由引理1中结论1)得

∀x∈Ω.

由式(9)得

又由引理1中结论1)得

于是

(13)

再由引理1中结论2)得

因此,式(5)得证.

注意到式(5)和(6)分别等价于如下不等式:

(14)

(15)

注1设(uβ,vβ)是问题(2)的一个正解,应用定理1及文献[5]中注3.1和注3.2容易证明：如果μ>2λ,则当β→+∞时,有

⇀(1,1)于[H1(Ω)]2,

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