拟行(列)对称矩阵的极分解及其扰动界

袁 晖 坪

(重庆工商大学 电子商务及供应链系统重庆市重点实验室,数学与统计学院,重庆 400067)

1 拟行(列)对称矩阵的概念与性质

定义1设A∈Cm×n,Q1,Q2,…,Qk-1均为m阶置换矩阵,则

其中Ai=QiA,i=1,2,…,k-1)

称为A的k次拟行对称矩阵,A称为其母矩阵. 特别地,当Q1=Q2=…=Qk-1=Q时,简记R(A;Q1,…,Qk-1)=Rk(A;Q).

定义2设A∈Cm×n,Q1,Q2,…,Qk-1均为n阶置换矩阵,则C(A;Q1,…,Qk-1)=(A,A2,…,Ak-1)(其中Ai=AQi,i=1,2,…,k-1)称为A的k次拟列对称矩阵,A称为其母矩阵. 特别地,当Q1=Q2=…=Qk-1=Q时,简记C(A;Q1,…,Qk-1)=Ck(A;Q).

显然,当Q1=Q2=…=Qk-1=I(单位矩阵)时,R(A;Q1,…,Qk-1)=Rk(A;I)即为文献[13]中“A的第一类k次行延拓”；C(A;Q1,…,Qk-1)=Ck(A;I)即为文献[13]中“A的第一类k次列延拓”. 当Q1=Q2=…=Qk-1=J(单位反对角矩阵)时,R(A;Q1,…,Qk-1)=Rk(A;J)即为文献[14]中“A的k次行周期对称矩阵”；C(A;Q1,…,Qk-1)=Ck(A;J)即为文献[14]中“A的k次列周期对称矩阵”.

由上述定义易得下列性质：

1) rankR(A;Q1,…,Qk-1)=rankC(A;Q1,…,Qk-1)=rankA;

3) 设X∈Cm×m,Y∈Cn×n,则

R(AY;Q1,…,Qk-1)=R(A;Q1,…,Qk-1)Y,C(XA;Q1,…,Qk-1)=XR(A;Q1,…,Qk-1).

2 拟行(列)对称矩阵的极分解与广义逆

引理1设Q1,Q2,…,Qk-1均为n阶置换矩阵,U为n阶酉矩阵,则

均为kn阶酉矩阵.

证明：因为UUH=UHU=I,QQH=QHQ=I,所以容易验证：P1(U)(P1(U))H=Ikn. 同理可证(P1(U))HP1(U)=Ikn,故P1(U)为kn阶酉矩阵. 同理可证P2(U)为kn阶酉矩阵.

引理2[15]设A∈Cm×n,则对任何酉矩阵U∈Cm×m,V∈Cn×n,有UAV的Moore-Penrose逆：

(UAV)+=VHA+UH.

证明：1) 由引理1知,P1(U)为酉矩阵. 因为

(P1(U))HR(A;Q1,…,Qk-1)=

又由引理1知,P2(U)为酉矩阵. 因为

2) 由1)、 引理2及文献[15]知,

又由1)、 引理2及文献[15]知,

定理2设Q1,Q2,…,Qk-1均为n阶置换矩阵,正规矩阵A∈Cn×n的极分解为A=HU=UH,其中U为酉阵,H为半正定Hermite阵,则存在酉阵P1(U),P2(U)∈Ckn×kn,使得:

证明：1) 与定理1中1)的证明类似,故略.

2) 由1)、 引理2及文献[15]知,

又由1)、 引理2及文献[15]知,

3 拟行(列)对称矩阵极分解的扰动分析

引理31) 设A∈Cm×n,Bij∈Cn×s,i,j=1,2,…,k,则

2) 设Q1,Q2,…,Qk-1均为n阶置换矩阵,则

证明：由矩阵Frobenius范数的定义可证.

证明：由定理2、 引理3及引理4知,

证明：与定理3的证明类似,故略.

拟对称矩阵R(A;Q1,…,Qk-1)的极分解也有类似定理3和定理4的扰动界.

综上可见,本文讨论了拟行(列)对称矩阵的极分解、 广义逆与扰动界,给出了拟行(列)对称矩阵与母矩阵两者的极分解、 广义逆与扰动界之间的定量关系. 结果表明,用母矩阵代替拟行(列)对称阵计算极分解、 广义逆与扰动界,既能极大减少计算量和储存量,又不会丧失数值精度.

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