万保成, 李 健, 李士军
(吉林农业大学 信息技术学院, 长春 130118)
考虑如下Kirchhoff型方程:
(1)
目前, 关于Kirchhoff型方程(1)的研究已有许多结果[1-4]. 事实上, 方程(1)是Kirchhoff型方程[5]
(2)
所对应的稳态情形. 文献[2]研究了一类带凹凸非线性项的Kirchhoff型方程解的多重性. 当非线性项f在无穷远处满足超线性次临界增长时, 即在如下假设条件下, 文献[2]得到了问题(1)的两个正解和两个负解:
(H1) 存在正常数C1,C2和p∈(2,2*)(如果N=3, 则2*=2N/(N-2); 如果N=1,2, 则2*=+∞), 使得
对于带组合非线性项时解的多重性研究, 可参见文献[6-7]中b=0的情形. 本文考虑f满足渐近线性增长时问题(1)解的多重性. 主要结果如下.
1) 0≤α∈L∞(Ω),α(x)≠0;
注1当α(x)=0, 非线性项在无穷远处满足渐近线性增长时, 文献[4]得到了问题(1)非平凡解的存在性; 文献[3]得到了问题(1)正解、 负解及变号解的存在性; 文献[1]研究了问题(1)正解的存在性与非存在性. 当非线性项在无穷远处满足超线性增长时, 文献[3,8]得到了问题(1)非平凡解的存在性.
定义泛函J:H→R,
显然,J∈C1(H,R). 若u为J的临界点, 则u是问题(1)的弱解. 定义
其中u±=max{±u,0}. 显然,J+∈C1(H,R). 应用最大值原理,u(x)>0, ∀x∈Ω. 下面只考虑得到两个正解的存在性, 类似地, 可得两个负解的存在性.
引理1在定理1的条件下, 泛函J+满足(PS)条件.
(3)
关于a.e.x∈Ω一致成立.
取{un}为(PS)序列, 即
J+(un)→c, ‖(J+)′(un)‖→0.
(4)
0≤f+(x,s)≤εs+Cεsp-1, ∀s∈R, a.e.x∈Ω.
因此,
下面证明泛函J+(·)具有山路几何.
引理2假设定理1中1)~3)成立, 则存在α0>0, 使得对所有满足|α|∞<α0的α, 有:
(i) 存在r,ρ>0, 使得J+(u)≥ρ>0, 其中u∈H, ‖u‖=r;
(ii) 存在u0∈H, 使得J+(u0)<0, 其中‖u0‖>r.
证明: 由假设2),3), 对任意的ε∈(0,λ1-η1), 存在常数C1(ε)>0,C2(ε)和p∈(4,2*), 使得
0≤F+(x,s)≤a(η1+ε)s2/2+C1(ε)sp, ∀s∈R, a.e.x∈Ω.
(5)
利用假设1), 式(5)和Sobolev不等式, 得
(7)
从而存在α0>0, 使得若α<α0, 则有ψ(t0)
(ii) 由假设3)与式(5)可得, 对任意的ε∈(0,η2-μ1), 存在Mε>0, 使得
∀s∈R, a.e.x∈Ω.
令ψ1为μ1所对应的特征值, 则ψ∈C(Ω), 且ψ(x)>0, ∀x∈Ω[1]. 因此, 利用00, 可得
对充分大的t0>0, 取u0=t0ψ, 可得(ii). 证毕.
因此c0<0. 应用Ekeland变分原理, 泛函J+存在局部极小临界点u1∈H, 使得J+(u1)<0. 显然,u1≥(≠)0. 应用最大值原理u1(x)>0. 再根据引理2中(ii)、f(x,0)=0及山路引理, 可得泛函J+的一个山路型临界点u2∈H, 使得J+(u2)>0. 显然u1≠u2. 此外, 应用最大值原理易得u2>0. 因此问题(1)存在至少两个正解u1,u2. 类似地, 可以得到两个负解u3,u4. 证毕.
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