一类Kirchhoff型方程解的多重性

2013-12-03 03:38万保成李士军
吉林大学学报(理学版) 2013年2期
关键词:多重性方程解临界点

万保成, 李 健, 李士军

(吉林农业大学 信息技术学院, 长春 130118)

考虑如下Kirchhoff型方程:

(1)

目前, 关于Kirchhoff型方程(1)的研究已有许多结果[1-4]. 事实上, 方程(1)是Kirchhoff型方程[5]

(2)

所对应的稳态情形. 文献[2]研究了一类带凹凸非线性项的Kirchhoff型方程解的多重性. 当非线性项f在无穷远处满足超线性次临界增长时, 即在如下假设条件下, 文献[2]得到了问题(1)的两个正解和两个负解:

(H1) 存在正常数C1,C2和p∈(2,2*)(如果N=3, 则2*=2N/(N-2); 如果N=1,2, 则2*=+∞), 使得

对于带组合非线性项时解的多重性研究, 可参见文献[6-7]中b=0的情形. 本文考虑f满足渐近线性增长时问题(1)解的多重性. 主要结果如下.

1) 0≤α∈L∞(Ω),α(x)≠0;

注1当α(x)=0, 非线性项在无穷远处满足渐近线性增长时, 文献[4]得到了问题(1)非平凡解的存在性; 文献[3]得到了问题(1)正解、 负解及变号解的存在性; 文献[1]研究了问题(1)正解的存在性与非存在性. 当非线性项在无穷远处满足超线性增长时, 文献[3,8]得到了问题(1)非平凡解的存在性.

定义泛函J:H→R,

显然,J∈C1(H,R). 若u为J的临界点, 则u是问题(1)的弱解. 定义

其中u±=max{±u,0}. 显然,J+∈C1(H,R). 应用最大值原理,u(x)>0, ∀x∈Ω. 下面只考虑得到两个正解的存在性, 类似地, 可得两个负解的存在性.

引理1在定理1的条件下, 泛函J+满足(PS)条件.

(3)

关于a.e.x∈Ω一致成立.

取{un}为(PS)序列, 即

J+(un)→c, ‖(J+)′(un)‖→0.

(4)

0≤f+(x,s)≤εs+Cεsp-1, ∀s∈R, a.e.x∈Ω.

因此,

下面证明泛函J+(·)具有山路几何.

引理2假设定理1中1)~3)成立, 则存在α0>0, 使得对所有满足|α|∞<α0的α, 有:

(i) 存在r,ρ>0, 使得J+(u)≥ρ>0, 其中u∈H, ‖u‖=r;

(ii) 存在u0∈H, 使得J+(u0)<0, 其中‖u0‖>r.

证明: 由假设2),3), 对任意的ε∈(0,λ1-η1), 存在常数C1(ε)>0,C2(ε)和p∈(4,2*), 使得

0≤F+(x,s)≤a(η1+ε)s2/2+C1(ε)sp, ∀s∈R, a.e.x∈Ω.

(5)

利用假设1), 式(5)和Sobolev不等式, 得

(7)

从而存在α0>0, 使得若α<α0, 则有ψ(t0)

(ii) 由假设3)与式(5)可得, 对任意的ε∈(0,η2-μ1), 存在Mε>0, 使得

∀s∈R, a.e.x∈Ω.

令ψ1为μ1所对应的特征值, 则ψ∈C(Ω), 且ψ(x)>0, ∀x∈Ω[1]. 因此, 利用00, 可得

对充分大的t0>0, 取u0=t0ψ, 可得(ii). 证毕.

因此c0<0. 应用Ekeland变分原理, 泛函J+存在局部极小临界点u1∈H, 使得J+(u1)<0. 显然,u1≥(≠)0. 应用最大值原理u1(x)>0. 再根据引理2中(ii)、f(x,0)=0及山路引理, 可得泛函J+的一个山路型临界点u2∈H, 使得J+(u2)>0. 显然u1≠u2. 此外, 应用最大值原理易得u2>0. 因此问题(1)存在至少两个正解u1,u2. 类似地, 可以得到两个负解u3,u4. 证毕.

[1] CHENG Bi-tao, WU Xian. Existence Results of Positive Solutions of Kirchhoff Type Problems [J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applicatios, 2009, 71(10): 4883-4892.

[2] CHENG Bi-tao, WU Xian, LIU Jun. Multiple Solutions for a Class of Kirchhoff Type Problems with Concave Nonlinearity [J]. Nonlinear Differ Equ and Appl, 2012, 19(5): 521-537.

[3] ZHANG Zhi-tao, Perera K. Sign Changing Solutions of Kirchhoff Type Problems via Invariant Sets of Descent Flow [J]. J of Math Anal and Appl, 2006, 317(2): 456-463.

[4] Perera K, ZHANG Zhi-tao. Nontrivial Solutions of Kirchhoff-Type Problems via the Yang Index [J]. J of Differential Equations, 2006, 221(1): 246-255.

[5] Kirchhoff G. Mechanik [M]. Leipzig: Teubner, 1877.

[6] Ambrosetti A, Brezis H, Cerami G. Combined Effects of Concave and Convex Nonlinearities in Some Elliptic Problems [J]. J of Funct Anal, 1994, 122(2): 519-543.

[7] LI Shu-jie, WU Shao-ping, ZHOU Huan-song. Solutions to Semilinear Elliptic Problems with Combined Nonlinearities [J]. J of Differential Equantions, 2002, 185(1): 200-224.

[8] MAO An-min, ZHANG Zhi-tao. Sign-Changing and Multiple Solutions of Kirchhoff Type Problems without the P.S. Condition [J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applicatios, 2009, 70(3): 1275-1287.

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