求解近场散射问题的最小二乘方法

栾 天,王玉洁,郑恩希

(1.北华大学 数学与统计学院,吉林 吉林 132033;2.吉林大学 数学研究所,长春 130012)

近场散射问题应用广泛,如近场光学显微镜的研发、生物微样本的无损成像以及纳米技术等[1-3].目前,关于近场散射问题数值计算的研究报道较少,已有方法主要包括Green函数方法[4]、有限元或有限差分方法[5]、边界积分方法[6]及多重多极方法[7]等.最小二乘方法的理论框架最初由Stojek[8]提出,即在区域剖分前提下,利用Helmholtz方程的局部解构造试探函数空间,并借助数值方法保证解在单元交界处的连续性,这样与频率相关的信息便包含在离散空间中,从而适用于数值求解高波数时谐散射问题,该方法目前已被应用于有界障碍物散射[9-10]和光栅衍射[11]等问题中.

本文针对近场全内反射显微镜的散射模型,提出一种最小二乘方法.为提高计算效率及在数值上捕捉近场信息,采用平面波函数和倏逝波函数逼近场的局部性态,并在最小二乘框架下进行求解.数值实验验证了算法的有效性.

1 数学模型

图1 模型结构Fig.1 Geometry of the model

记k0为自由空间的波数.入射场为平面波ui=exp(iαx+iηy),其中:α=n-k0sinθ;η=n-k0cosθ;θ∈(-π/2,π/2).在界面处入射波一部分能量被反射回下半空间产生反射波ur,另一部分能量透过界面进入上半空间产生透射波ut.当增加入射角,超出某一临界值时,入射能量则被全部反射回下半空间,产生全反射现象.

没有样本时,记空间中的场分布为uref,称为参考场.根据Maxwell电磁理论,TM极化(transverse magnetic polarization)情况下,uref满足如下Helmholtz方程:

(1)

(2)

其中ur和ut分别表示反射波和透射波:

(3)

这里

(4)

考察方程(3),(4),当入射角θ大于临界角θcr时,即k0n+<|α|,γ(α)为纯虚数,则透射场为

此时场ut在界面表面沿x轴传播,且沿y轴正方向指数衰减,即ut为倏逝波.

若在基座上放置样本S,则参考场uref与样本相互影响将产生散射场us.记此时空间中总场u=uref+us,则在TM极化情况下,u满足如下Helmholtz方程:

(5)

综上,所考虑的近场散射问题数学描述为: 已知入射波ui,求全场u满足:

(6)

其中g=(∂ν-ik0n(x))uref.

2 最小二乘方法

∂νk,jvk=∂νj,kvj,vk|Γk,j=vj|Γk,j, ∂νkvk-iσvk=g.

(7)

对函数v∈V,定义其在Γk,j上的跃度为

类似地,可定义∂νv在Γk,j上的跃度并记为[∂νv]Γk,j.于是,可定义如下目标泛函:

(8)

其中:a∈M(M=NP)是未知系数;‖·‖0,D为D上的L2范数.将最小二乘解作为ua的系数,则ua即为所求问题的数值解.

选用p个平面波函数和2个倏逝波函数作为基函数,即

φk,l|Ωk=eik0nkdk,l·(x-xk),l=1,2,…,p,

(9)

φk,p+1=eiβ(y-yk)eiα(x-xk),φk,p+2=eiβ(y-yk)e-iα(x-xk),

(10)

(11)

3 数值算例

下面针对本文提出的最小二乘方法进行数值实验.程序代码使用MATLAB语言.计算区域为Ω=[-l,l]×[-l,l],将Ω等矩形剖分成2nΩ×2nΩ(nΩ∈)个小单元,单元边长为l/nΩ,取k0=1,θ=π/4,l=0.5.

例1n+=4,n-=10,nS=8.

图的实部

图的实部

图4 L2误差关于h的收敛性Fig.4 Convergence of error in L2-norm against h

图5 L2误差关于p的收敛性Fig.5 Convergence of error in L2-norm against p

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