“面积”的前概念调查研究与教学实践

“前概念”指学生对将要学习的概念在先前的生活与学习过程中已经形成的认识与观念。了解学生的“前概念”，是引导学生理解数学概念的基础。如何才能准确地了解学生的“前概念”，如何依据“前概念”进行教学设计？下面以我们近期组织的“面积”的前概念调查研究与教学实践为例，阐述我们的做法。

一、“面积”前概念的调查

一般来说，教师对于学生“前概念”的把握，主要依据教学经验或教育心理学理论，即主要来自于主观的推测。而这样的推测往往是单薄的、片面的，甚至错误的。所以，哪怕是有丰富教学经验的教师，也要在对学生的“前概念”做出主观推测的基础上，组织有效的、有针对性的调查。

1.前概念推测

“面积”与“周长”是封闭图形两个重要的量度。就学校数学而言，“周长”的概念先于“面积”概念进行学习，而就学生的直观感知而言，“面积”更容易被学生感知，但在具体表述时，“面积”往往用“大小”这个词来表述，但学生会怎样解释“面积”呢？

2.调查题设计与意图

为证实推测，解答疑惑，我们设计了三个有层次的调查题。

调查题1：从语言的角度，调查学生会用怎样的词汇描述物体面的大小。

黑板面比电视机屏幕面（ ）。这句话中是用黑板面的（ ）和电视机屏幕面的（ ）在比较。

调查题2：对图形的观察，调查学生对图形大小的理解。

在图1中，哪些图形可以看出它的大小，哪些图形没有大小？在你认为有大小的图形的序号上打“√”。

调查题3：从内涵的角度，调查学生对“面积”一词的理解。

你听说过“面积”吗？如果听说过，面积是什么意思？

3.调查的对象与组织

我们认为，“面积”前概念的形成与学生的学习过程、生活环境有一定的相关性。因此，我们联系了位于城区、城乡结合部和边远农村各一所学校，并选择各所学校的一个班的学生作为调查对象。

为了后面的调查题不对前面的调查产生前摄影响，在组织调查时，我们分成三次先后下发调查题，各用两分钟时间完成。

二、“面积”前概念分析

调查题的主观性与开放性，使得学生的回答可能五花八门。为了便于统计，教师要从回答的差异性中找到相似性，进行合理的分类，然后再对每一类进行细致分析，从相似性中辨析学生回答的差异性。在“前概念”分析时，对有疑问的调查结果，还可以进行个别访谈。

1.调查题1的统计与分析

通过调查，基本证实了我们的想法：大部分学生能够结合具体情境用“大小”来描述“面积”。

（1）调查结果统计（见表1）

从调查的三个班的总体情况看，72.5%的学生能够正确描述“面积”，知道比较物体的长度与两个图形或平面面积的大小；8.33%的学生不是很清楚，但感觉到了面积与长和宽是有关系的；19.17%的学生不回答或其他。

（2）调查结果分析

从总体情况看，学生在学习“面积”概念前并非一片空白，尤其是生活在城区或镇上的孩子，他们早已从家长们关于“买房”“卖房”“装修”等谈论中，耳濡目染了“面积”“大小”等词汇。能够将“面积”正确描述的学生分为三种情况：

黑板面比电视机屏幕面（大）。这句话中是用黑板面的（面积）和电视机屏幕面的（面积）在比较。

黑板面比电视机屏幕面（大）。这句话中是用黑板面的（大小）和电视机屏幕面的（大小）在比较。

黑板面比电视机屏幕面（大）。这句话中是用黑板面的（大）和电视机屏幕面的（小）在比较。

在上述三类回答中，其中第一类有18人，占15%，且主要集中在城区与城镇，访谈这些学生后知道，他们或是说看书知道，或是在数学课外书中学到的；第三类有5人，占4.1%，显然这样的表达，从面积的定义来看，不能算是“正确的”，但通过对5位同学的访谈后发现，学生也是从“大小”的角度来表述的。

我们通过统计与个别访谈发现，大部分学生是通过生活经验对“面积”有了初步的感知，并且能够结合具体的情境，明白面积就是指（面）的大小。

另外，认为“面积”是“长和宽”在比较的学生的结果如下：

黑板面比电视机屏幕面（大）。这句话中是用黑板面的（长和宽）和电视机屏幕面的（长和宽）在比较。

从统计结果来看，这样的填法所占的比重，城区学生要明显高于城镇与偏远农村学生。而且通过了解，我们发现这样填写的学生并非都是后进生，而是各个层次的学生都有。

经过个别访谈了解到，这样填写的学生首先是受制于例子的特殊性。例子中两个物体的面都是长方形，而且黑板面的长与宽均大于电视机屏幕面的长与宽，因此学生直观地认为是“长和宽”在比较。因此，就本题而言，这种说法不能算错误，而且学生已经能从两维的角度来确定面的大小。

2.调查题2的统计与分析

“面积”与“周长”一样，是封闭图形的量度。在具体情境下，学生是否可以分辨哪些图形有“面积”，哪些图形没有呢？通过调查2的统计与分析，可以回答这个问题。

（1）调查结果统计

三个年级中只有来自于偏远农村小学的两名学生认为6个图形都有大小，其余学生都可以作出正确回答。在对偏远小学四位学生访谈时，同时请两位认为6个图形都有大小的学生旁听，等学生作出回答后，这两位学生也很快发现了自己存在的问题。

（2）调查结果分析

人教版三上年级数学在教学“周长”时，学生对封闭图形已经有所认识。因此，当要求判别哪些图形有“大小”时，极大多学生能够正确回答。

教师抽查了三类学校各四位学生进行个别访谈，询问图形③⑥没有大小的原因，学生均能从“不是封闭图形”来说明。

3.调查题3的统计与分析

概念一般由概念名称、概念示例、概念特征与概念定义这四个部分组成，从调查题1与2可以了解到学生对“面积”的前三个部分的前概念。那么学生又是如何概括“面积”，如何给面积下定义的，这可以从调查题3中找到答案。

（1）调查结果统计（见表2）

（2）调查结果分析

这里的“正确描述”并不是指按书本中的规范表述，而是学生能用“大小”来表述“面积”即可以作为正确描述，例如，

答：听说过，面积的意思是眼睛看过去的大小。

答：我听说过“面积”，面积就是封闭图形的大小。

这样的学生占总数的半数以上，但没有学生能如课本中那样下定义。这说明，在教学时，教师需要有序列举与引导学生逐步概括定义。

还有一部分学生把“面积”与“面”相混淆，例如，

答：我听说过，面积是一个图形的表面。

其他的错误回答还有与“周长”相混淆，例如，

答：听说过，是一个封闭图形的周长。

“面积”与“周长”作为同时存在于封闭图形中的两个量度，不管在概念形成时，还是在应用阶段，学生均容易混淆。因此，在教学“面积”时，就要尽早地将其与“周长”进行比较，让学生更早地区分两者的区别。

三、“面积”的教学实践

调查与分析为我们提供了鲜活的、真实的、细致的“前概念”。透析学生的“前概念”，可以改进原有的教学设计，进行更加顺应学生学习心理的教学。根据“面积”的前概念调查，我们得知，学生从生活经验中已经有了“大小”的观念，并能正确地区分哪些图形有大小，但在具体解释“面积”时还不够完整，且容易与“表面”“周长”这些概念相淆，因此，我们可以采用比较的策略，组织“面积”的教学。

1.在与“长度”的比较中引出“面积”

（1）复习“长度”概念

教师通过投影出示两支长短不同的红笔与蓝笔，引导学生复习“长度”的概念。

教师先后出示下面两个句子，请学生回答。

红笔比绿笔（ ）。

这句话中是用红笔的（ ）与绿笔的（ ）在比较。

生：红笔比绿笔长。

生：红笔的长度与绿笔的长度在比较。

教师板书“长度”。

（2）引出“面积”概念

教师通过投影出示黑板面与电视机屏幕，引导学生先后回答下面问题。

黑板面比电视机屏幕面（ ）。

这句话中是用黑板面的（ ）和电视机屏幕面的（ ）在比较。

生：黑板面比电视机屏幕面小。

生：黑板面的大小和电视机屏幕面的大小在比较。

师：黑板面的大小和电视机屏幕面的大小，这个大小叫做它们的“面积”。

教师板书“面积”。

师：像黑板、电视机屏幕还有桌子等，这些我们都称它为物体。（板书：物体）我们看到一个物体时，就可以看到这个物体的表面，而物体表面的大小，就可以用两个字来概括，叫做……

生齐答：面积！

长度与面积是人们刻画图形的两个重要的既有联系又有本质区别的几何量度。长度是从一维的角度来刻画图形的量度，面积是从二维的角度来刻画图形的量度。在前概念调查中发现，三年级的学生对于面积已经有了一定的了解，并且，在日常生活中经常用“大小”来表述。上面的设计，通过对两组实物的比较，唤起学生已有的经验，直观感受到面积与长度的区别，激发学生对“面积”进一步研究的意向。

2.在与周长及平面图形的辨析中理解面积

（1）比较物体表面的周长与面积

教师利用课件出示数学书，并用红色线段动画演示数学书本一周，问：这一周的长度是数学书本的什么？

生：周长。

根据学生的回答教师出示：封面一周的长度是封面的周长。

接着中把整个封面覆盖上一层红色，并设问：这是封面的什么？

生：面积。

师：请同学们拿出数学书，指一指封面的周长，再摸一摸封面的面积。

学生操作后，教师拿出一本数学书。

师：同样是这本数学书的封面，既有我们以前学过的周长的知识，又有今天学的面积的知识，而且还发现了周长与面积的不同。数学就是这么学的，今天学一点，明天学一点，然后我们把它们综合起来比一比，就发现了更多的知识，也就可以解决更多的问题。

（2）理解图形的面积

出示图1，并提问：哪些图形有面积？

生：图形①②④⑤有面积。

师追问：你认为怎样的图形有面积？

生：封闭图形有面积。

教师总结并板书：封闭图形面的大小叫做它们的面积。

（3）概括面积的定义

师：现在你能概括一下什么叫做面积吗？

生：封闭图形的大小和封闭图形面的大小叫做它们的面积。

教师总结并修改板书：物体表面或封闭图形的大小叫做它们的面积。

“面积”与“周长”虽然有本质的区别，但也有密切联系。因为，在观察一个封闭图形时，看到图形边的长短时，同时也看到图形面的大小。在我们的教材中，为了学习的需要，总是人为地把“周长”与“面积”分成两个学习阶段，第一阶段学习周长，是在学生已经学习了米、厘米等长度单位的基础上进行教学；第二阶段学习面积，主要是通过比较不同物体或封闭图形面的大小来概括面积的概念，进而通过摆一摆、数一数等活动，引出面积单位，导致学生对这两个重要的概念产生混淆。究其原因，教师在教学周长时，没有从面的大小来分析周长，在教学面积时，又没有及时与周长进行比较。为克服这一弊端，本文采用了在数学书本封面的周长与面积的比较中初步感知面积概念，让学生体会到面积是从另一个角度对封闭图形的认识。

综合上面的研究过程，可以发现，对学生“前概念”的调查研究，可以真实地了解学生的思维起点，真切地把握新概念的生长支点。这样的实践研究植根于学生，有利于形成教师的教学特色。

（作者单位：1.浙江省杭州市萧山区教研室 2.浙江省杭州市萧山区任伯年小学）

（责任编辑：马赞）