面内变刚度矩形薄板自由振动问题的辛弹性分析

何建璋，褚福运，仲 政，聂国隽

（同济大学 航空航天与力学学院，上海200092）

功能梯度材料是指材料的组分沿某一方向连续变化，从而导致材料的宏观性质随空间位置梯度变化.功能梯度材料结构的力学研究越来越受关注.

目前的研究多集中在材料参数沿厚度方向变化的情况，给出了功能梯度材料结构在弯曲、振动、屈曲以及断裂等方面的解析解［1－4］，而对功能梯度板刚度面内变化的研究则很少.尚新春［5］研究了两对边简支两对边任意支撑的双向线性变刚度矩形板弯曲问题的解析解；杨杰［6］提出了单向变刚度矩形板结构分析的伽辽金线法；Liu等［7］提出了面内变刚度矩形板自由振动问题的半解析法.Bahar等［8］通过假设面内变刚度板的位移函数为切比雪夫多项式，利用里兹法研究了变刚度板自由振动问题.于天崇等［9］假设板的挠度具有Levy解的形式得到了抗弯刚度沿板宽度方向按幂函数形式变化的矩形板弯曲问题的解.

上述解法一般都需要假设试函数，然后利用逆解法或者半逆解法得到问题的解，而近年来发展起来的辛弹性力学解法［10］，不需要假设试函数，为弹性力学问题的解析求解提供了一种新途径.目前，运用辛弹性的方法在板和功能梯度材料的力学问题求解上已取得了一些成果.Lim［11］利用辛弹性理论求解了各向同性基尔霍夫板的自由振动；Lim［12］和Li［13］利用辛弹性理论分别求解了各向同性简支板和正交各向异性固支板的弯曲问题；Hu［14］应用同样的方法求解了正交各向异性薄板的自由振动和强迫振动问题.Zhao［15－16］采用辛弹性的方法求解了功能梯度材料及功能梯度压电压磁材料的平面问题.本文通过假设板的刚度沿板的长度方向呈指数变化，利用变分原理将其导入辛体系，并应用分离变量法和本征值展开给出了求解面内变刚度矩形薄板自振频率的一种解析方法.

1 变刚度薄板的变分原理及哈密顿对偶方程

1.1 变刚度薄板的变分原理

考虑一变刚度基尔霍夫板的自由振动问题，其弯曲刚度D（x，y）是空间坐标的函数.利用Hellinger－Reissner变分原理［14］，定义如下泛函：

式中：Ω 表示板在xy平面上所占的区域；Mx，My，Mxy为板的内力矩；w为板的挠度；ρ（x，y）为板的密度；h为板厚；ω 为板的自振频率；n和s分别表示边界的外法线和切线方向；Mn，Mns，Qn分别为板边界的弯矩、扭矩和剪力；C1，C2分别代表固支和简支边界；U为应变余能密度

式中：ν为材料的泊松比；D（x，y）为板的弯曲刚度.

对式（1）关于Mx，My，Mxy，w进行变分，同时结合如下恒等式对w变分：

可以得

式中：Qx，Qy为板内截面上的剪力；C3代表自由边界.

精确解能使δΠ2＝0，从而可导出变刚度板的平衡方程、物理方程以及边界条件.

定义等价剪力为

则基尔霍夫板的几种典型边界条件可以表示为

1.2 变刚度板的哈密顿对偶方程

引入约束条件

由变分原理式（4）可得

式中：

对式（10）关于w，θ，Tx，Mx执行变分得

对式（11）分部积分，只保留域内部分，并令Vx＝－Tx，从而可以得到辛对偶方程组

现考虑如图1 所示的各向同性变刚度矩形薄板，板的弯曲刚度D和密度ρ只沿x方向变化，即D（x）＝D0f（x），ρ（x）＝ρ0f（x），其中D0，ρ0 分别为板在x＝0处的弯曲刚度和密度，则方程（12）退化为

这时的对偶方程组是变系数的常微分方程组，无法利用分离变量法直接求解.若设面内刚度按照指数函数变化，即D（x）＝D0eγx，ρ（x）＝ρ0eγx，可引入新的内力分量，令

便能得到常系数的常微分方程组为

则有下面的恒等式：

和传统Hamilton矩阵相比，式（18）多出了一项γ〈v1，v2〉，所 以 算 子 矩 阵H并 非 辛 几 何 空 间 的Hamilton变换，但其性质和Hamilton 算子矩阵非常相似，称为移位Hamilton矩阵［15］，可以证明该矩阵的本征值和本征向量与Hamilton 矩阵有相似性质.

图1 面内变刚度薄板Fig.1 Thin plate with in－plane material inhomogeneity

2 辛本征值分析

对于自由振动问题，式（15）是一个齐次常微分方程组，利用分离变量法，状态向量可写成

将式（19）带入式（15）可得

式中：μ为待求本征值为与μ对应的本征向量.对于式（15）对应的辛本征值问题，可以证明它不存在零本征值.对于非零本征值的本征解，由于本征方程（15）是关于y联立的常微分方程组，应首先找到y方向的特征值λ，其对应的特征方程为展开上式可得

其中

于是辛本征向量的通解可以表达为

式（25）的16个常数并不是彼此独立的，独立的常数只有4个，这里选择A1，A2，A3，A4作为独立常数，并将其带入式（20）的第2式可得

对于其他有重根的情况，其求解过程和有4个互不相等的根的情况求解过程完全类似，这里对其他情况就不再讨论.

3 对边简支变刚度薄板自由振动的通解

方程（23）中有3个未知量λi，μ，ω，λi要通过y＝±b的边界条件来确定，这样μ 就可以用λi和ω 来表示，令其通解满足x＝±a的边界条件，可得到频率方程.在频率方程中只有ω 是未知的，求解频率方程就可以得到面内变刚度板的各阶自振频率.

y＝±b为简支边界条件时，其边界条件的方程可以表示为

可用w，Mx表示为

将式（25）带入式（28），并要求其对称部分和反对称部分均满足边界条件，可以得到如下方程组：

要使该方程组有解，要求关于Ai的系数矩阵的行列式为零，可得

对于均匀材料板，即γ＝0 的情况，从式（31），（32）可以看出，其本征值和特征值均和泊松比无关，而对γ≠0的变刚度板，其本征值和特征值均和材料的泊松比有关.解出本征值后，将其代入方程（29）就可以得出A1，A2，A3，A4的一组非平凡解.

从而可以得到本征向量

其中函数fi（n）（i＝1，2，3，4）是取决于边界x＝±a的待定参数.在方程（35）中只有待定参数fi（n）和结构的自振圆频率ω 是未知的，令式（35）满足x＝±a的边界条件，就可以得到频率方程，进而求得其各阶自振圆频率.

4 变刚度板的频率方程

对于边界x＝±a的边界条件可以是简支边界条件和固支边界条件的任意组合，因此可以给出如下4种边界条件：

（1）四边简支（SSSS）

（2）x＝－a边固支，其余三边简支（SCSS）

（3）x＝a边固支，其余三边简支（SSSC）

（4）x＝±a对边固支，其余两对边简支（SCSC）

由于板的非均匀性导致边界SCSS和SSSC 所对应的频率方程不再一致，其固有频率也有较大差异，需要分别计算.将式（35）分别带入式（36）～（39），取及作为待定系数，由系数矩阵的行列式为零，可得到4种边界条件下的频率方程.

（1）SSSS的频率方程

（2）SCSS的频率方程

（3）SSSC的频率方程

5 算例与讨论

算例以图1 所示的变刚度板为研究对象，表1给出了泊松比ν＝0.3的变刚度方板（a＝b）在不同梯度指数及边界条件下的前6 阶自振频率f（f＝当变刚度板的梯度指数γ＝0时，变刚度板退化成均匀板，可以将此时板的自振频率与经典解对比，计算结果表明退化后的结果和经典解吻合得很好，也验证了这种方法的有效性.同时在变刚度板的梯度指数较小时，变刚度板的自振频率应该和均匀板非常接近，这也和表1给出的计算结果一致.

人们更为关注的是板的变刚度性质对板自振频率的影响.从表1 和图2 可以看出SSSS，SSSC，SCSC 3种边界条件下，其自振频率随着梯度指数的增加而增加，而对于SCSS边界条件下，在梯度指数较小时其自振频率随着梯度指数的增加而减小，但随着梯度指数的持续增加，SCSS的各阶自振频率都会达到一个最小值，之后其自振频率将随着梯度指数的增加而增加.这主要是因为变刚度的存在使得控制方程中和刚度相关的项数增多，而和质量相关的项数不变，而结构的自振频率正比于弯曲刚度，反比于质量，所以不难理解SSSS，SSSC 及SCSC 板的自振频率随着梯度指数的增加而增加.边界条件同样会对结构的自振频率产生显著影响，对刚度大的边界施加更为严格的约束条件，必然会导致SSSC的自振频率高于SCSS，对刚度较小的边界施加更严格的约束，将导致刚度和约束在某种程度上的制约或抵消，从而出现了SCSS 板自振频率随着梯度指数的增加反而减小的情况，但随着梯度指数的进一步增加，刚度对自振频率的控制作用将超过边界条件的制约，进而出现了自振频率随梯度指数增加而增加的现象.从上述角度也可以解释下面的规律.由于板的非均匀性导致边界组合SCSS和SSSC 所对应的频率方程不再一致，结合图2 可以看出，SSSC的自振频率始终高于SCSS，同时随着梯度指数的增加，SCSS的自振频率会越来越接近SSSS，SSSC 的自振频率也会越来越接近SCSC.

表1 不同边界条件及梯度指数变刚度方板的前6阶自振频率Tab.1 Sixth－order natural frequency of variable stiffness square plate with different boundary conditions and gradient index

图2 不同边界条件下1阶自振频率和梯度指数的关系Fig.2 The relationship of first order natural frequency and gradient index with different boundary conditions

对于均匀板的SSSS，SCSS，SSSC，SCSC这4种典型的边界条件，其自振频率和材料的泊松比无关，但对于变刚度板而言，从式（31），（32）以及相应的频率方程可以看出，其自振频率和泊松比有关.图3给出了4种典型边界条件变刚度方板量纲一化的自振频率随泊松比ν的变化，由计算结果可以看出，对于变刚度板，其自振频率随着泊松比的增加而减小，当变刚度板退化成均匀板时，其自振频率和泊松比无关.

图3 4种典型边界变刚度板自振频率和泊松比的关系Fig.3 The relationship of first order natural frequency and Poisson’s ratio with different boundary conditions and gradient index

图4 4种典型边界变刚度板自振频率和长宽比的关系Fig.4 The relationship of first order natural frequency and aspect ratio with different boundary conditions and gradient index

图4 给出了变刚度板在SSSS，SCSS，SSSC，SCSC 4种边界条件下的量纲一化自振频率与长宽比的关系.横坐标的右半轴表示板的长宽比a／b，左半轴表示板的宽长比b／a.从图中可以看出，对于SCSS宽长比b／a≥1.0，会出现随着梯度指数的增加而自振频率减小的现象，其他边界和长宽比条件下，自振频率均随梯度指数的增加而增加.

6 结论

本文将辛弹性理论应用于求解非均匀材料板，假设矩形板的弯曲刚度沿板的长度方向呈指数函数变化，利用变分原理将其导入辛体系，并应用分离变量法和本征值展开给出了对边简支、另两边任意支撑的变刚度板的频率方程，通过求解频率方程可以得到变刚度板各阶自振频率的精确解.从求解过程可以看出，这种方法不同于传统的逆解法或者半逆解法，它不需要提前假设试函数，是一种更为理性的正向的求解方法.

算例表明，SSSS，SSSC，SCSC 3种边界条件下，其自振频率随着梯度指数的增加而增加，而对于SCSS边界条件下，在梯度指数较小时其自振频率随着梯度指数的增加而减小，达到一个最小值，然后其自振频率将随着梯度指数的增加而增加.

这种方法还可以进一步推广到求解弯曲刚度指数变化的任意边界条件的矩形薄板及中厚板的自由振动、屈曲和弯曲问题.

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