直线永磁无刷直流电机换相过程解析分析与多目标优化计算

李会来，李小民，王 刚

(军械工程学院 无人机工程系，河北 石家庄 050003)

直线永磁无刷直流电机(LPMBDCM)具有气隙磁密高、推力输出大、能量效率高、结构简单、无需主动变频控制等特点，常作为弹射用电机被应用到中小型飞行器电磁弹射起飞中。弹射用直线电机一般工作要求在高电压、大电流、高载荷和恒推力的特定工况下，在瞬态环境下动子速度变化范围大，末速度能达到每秒几十米，这种特殊的工况对电机系统的推力波动和精确换相控制要求比较高。准确换相控制是永磁无刷直流电动机设计中的一个重要指标参量，即通过控制电子器件的准确换相使得绕组电流与反电动势同相位，来得到电磁转矩/推力的最大输出和最小波动。在电机设计过程中，需要着重考虑电机参数的优化选择以使得电机的性能输出达到最优。因此，对永磁无刷直流电机的换相控制进行计算分析有实际意义，抑制转矩/推力脉动问题也一直是永磁无刷直流电机研究领域的热点和难点[1-2]。

抑制永磁无刷电机推力/转矩波动的方法主要通过优化电机结构设计和适当的控制策略两方面来进行的：前者是通过结构参数的优化达到减小齿槽力/齿槽转矩和优化反电动势波形进而抑制电机推力/转矩波动的；后者是通过适当的激励控制方法使得电机输出推力/转矩平稳从而达到抑制电机推力/转矩波动的目的。文献[3]分析了电机换相的物理过程和数学模型，指出产生换相转矩波动的原因及其影响因素，从而为研究抑制换相转矩波动的措施和方法提供了理论依据。文献[4]推导了变速度条件下最佳提前换相角(时间)的解析公式，并换相控制模型对算法进行验证，取得了较好的抑制推力随速度增大而下降的效果。上述文献都是通过电机参数(主要是电角度、换相时间)对转矩/推力波动影响的分析，但均未研究转子/动子速度对转矩/推力波动的影响；相关抑制补偿控制方法在低速时效果较好，考虑到高速时的换相时长过短相关补偿方法可能会失效[5]。

笔者研究了弹射用LPMBLDCM的换相过程的数学模型，推导出换相距离、换相推力波动、效率公式并分析了各参数对换相推力波动的影响。建立起换相距离、推力输出和电机效率的多目标函数优化模型并对模型问题进行了优化求解。

1 永磁无刷直流电机数学模型

LPMBLDCM采用方波供电，三相绕组星型连接“三拍-状态”工作方式。为方便分析，有如下假设：

1)三相对称，反电动势为梯形波，平顶部分等于120°电角度。

2)忽略电枢反应、齿槽效应、端部效应和磁路饱和的影响。

3)相绕组的等效电感为常数。

1.1 换相过程的数学模型

图1所示为换相过程从A相关断开始到A相电流降为零过程的等效电路。

在B/C相导通的换流过程中，直线电机的状态方程为：

(1)

式中：R表示绕组电阻；Ia、Ib、Ic分别表示相电流；L表示绕组等效电感；U为端电压。此时，三相绕组的反电动势分别为:

(2)

式中：E=kv，k为绕组反电动势系数；v为动子运动速度。

方程式(1)的初始条件为Ia(0)=I0，Ib(0)=0，Ic(0)=-I0。于是，联合式(1)、(2)求解方程组，得到三相电流的解析表达式为：

(3)

式中：绕组的电磁时间常数为τ=L/R。

电机的推力输出为：

(4)

由于换相时长在整个换相电周期内所占比例很短，可以认为t≪T，将式(2)、(3)代入式(4)并且进一步整理，可得：

(5)

1.2 非换相过程数学模型

在非换相期间，任意时刻只有两相导通，第三相截止状态。不考虑非导通相续流的影响，采用全通方式供电，以A、B两相导通为例，此过程的等效电路如图2所示。

非换相期间等效电路数学模型为：

(6)

设A相初始电流为I0，求解式(6)得：

(7)

f=2Iaea/v=2Ik

(8)

2 换相距离和推力波动分析

2.1 换相距离的求解

定义换相时间为A相从关断开始到电流降为0，令Ia=0，求解换相时间为：

(9)

为考察在不同速度工况下的最佳换相距离，特定义换相距离为：

(10)

接下来分析速度参量对换相距离的影响，对式(9)求一阶导可得：

(11)

分析换相距离对速度偏导解析式，可得：最佳换相距离无法得到一阶导数取零时的解析解，速度对最佳换相距离的影响和其他参数有关，其最佳换相距离的获取依赖于其他参数的选择。

2.2 最大换相距离的选择

为了比较不同速度工况下电机换相过程所引起输出推力的下降程度，接下来通过速度参量对直线电机最佳换相距离影响的分析，以得到期望速度下的最佳换相距离。

对式(5)求一阶速度参量导函数，有df/dv<0，设lmax为最大换相距离，选取换相结束时刻的推力大小进行分析，则在不同速度下的换相时间为t=lmax/v，可得：

(12)

推力下降的大小要满足系统对推力输出的要求，即不等式f>f′，其中f′为系统要求输出推力的最小值。

2.3 推力波动的分析

(13)

以Fripple作为衡量换相推力波动的指标，定义推力波动如下：

企业并购分为兼并、收购和合并三种，企业并购是指两个或者两个以上的企业为了提高自身竞争力，双方自愿平等的发生交易，一方企业付出一定的经济代价从而取得另一方的股权和资产，从而对其进行控制和管理的行为。

(14)

换相推力波动主要受反电动势系数、速度、端电压、初始电流和电阻参数所影响。

3 电机参数优化

对于待求解优化问题，从目标函数、约束条件、最优解的计算方法三个方面进行分析。

3.1 目标函数的确定

考虑到大齿槽结构的直线电机会引起齿槽力和制作成本的增加以及电子开关器件对最佳换相距离的要求，以换相距离最小作为目标优化函数，重新列写式(10)，得：

(15)

推力波动与推力输出密切相关，换相过程中输出推力下降越小相应的推力波动也就越小，推力下降的大小仍要满足系统对推力输出的要求，选取输出推力式(12)作为目标优化函数。

(16)

综上所述，得多目标优化问题的目标函数为：

(17)

3.2 约束条件

参数优化的约束条件可以分为两类：

(18)

2) 电磁参数和成本约束。主要包括初级齿部磁通密度、轭部磁通密度、工作电流等约束条件。另外，电机的电气参数(如电感、电阻、反电动势系数等)取值仍要受到条件限制。

3.3 多目标优化过程

在多目标优化问题中，由于目标函数间的矛盾性质，一般并不存在对各个目标函数都为全局最优的解，而是存在一非劣解集，即Pareto最优解集。弹射用直线电机因其电压高、电流大，速度动态范围大，导致换相时间较长，因此在选择参数时要慎重考虑换相时间。根据系统对推力波动的要求，求解得出最大换相距离；以系统换相时间最小为目标，满足系统推力波动要求为相关约束条件，建立了优化模型并求解最优参数；最后，求解电机最大工作效率下的各电参数。基本实现过程如下：

1)设定解空间，给出参数的取值范围:

(L,R,k)⊂[LminLmax] ×[RminRmax]×[kminkmax]

2)构造目标优化函数。

3)初始化推力，系统对推力波动的要求，最大换相距离，速度取值，负载质量，最大电流和电压。

4)在解空间上，搜索最优参数。若无收敛解，则调整解约束参数范围重新计算，直至收敛。

4 参数优化与仿真

仿真参数：设系统要求的最小推力为f=1 700 N，速度变化范围为2～40 m/s，负载质量为40 kg，加速距离为16 m，最大电流为Imax=300 A，最大电压Umax=2 500 V，电感取值区间[2,10]，单位mH；电阻取值区间[0.1,2]，单位Ω；反电动势系数的取值区间[10,25]，单位V·(s·m-1)；最大换相距离为lmax=8 mm。图3和图4分别所示为不同速度下的推力波动和最佳换相距离计算结果。

从图中可以看出，随着速度的增大，电机推力波动(相对值)不断减小，最佳换相距离逐步增大。当动子速度达到40 m/s时，电机的推力波动(相对值)趋于稳定值约为25%，最佳换相距离约为7 mm。高速度工况下，导通回路受电磁时间常数τ的影响导致最佳换相距离变大而影响电机的设计尺寸大小，这就需要设法降低电感L以减小最佳换相距离。将电感L数值减小1倍，重新计算结果显示最佳换相距离较原计算值减小近30%。

改变负载质量取值分别为40、30、20和15 kg，期望推力为1 500 N，其它参数取值不变的情况下重新进行计算。图5和图6所示为不同速度下的推力波动和最佳换相距离计算结果。

从图中可以看出，负载质量的增大会引起最佳换相距离的增大。这是由于在小载荷质量下，电机动子达到相同速度值所需推力较小，克服外力做功较少，这也验证了理论分析的正确性。从图6中可以看出，负载质量的变化对换相推力波动的影响不大且规律性不明显；换相推力波动也并不随着速度变化而减小或增大。

由上述分析结论，提出采用多个离散速度对电机性能进行优化，经过最终优化求解得到电气特性参数如下：R=0.14 Ω，k=11.89 V·(s·m-1)，L=2.78 mH，电机效率为57.37%。图7所示为参数优化后的直线电机在外特性参数确定的情况下，不同速度工况下的工作点分布。

从图7中可以看出，参数优化前的电机工作区域并非全部集中在其外部特征曲线上，尤其是在低速段电机工作点分布仍可以进一步改进设计。优化后的电机推力输出特性较之前明显提高，推力输出也更为平缓，推力波动显著减小。

5 结束语

结合弹射用LPMBLDCM工作特点，笔者研究了电机换相过程的换相期间和非换相期间的数学模型，推导了不同速度参量下的电流、电压以及换相推力波动等表达式，并分析各参数对电机性能输出的影响。为分析速度参量对换相过程的影响，重新定义换相距离和推力波动，建立并求解以多目标优化函数的非线性约束优化模型，改善了系统优化匹配设计，并通过计算验证了理论分析的正确性。

参考文献(References)

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[2] LIU YONG, Z Q ZHU, DAVID HOWE. Direct torque control of brushless DC drives with reduced torque ripple[J]. IEEE Transaction on Industry Applications,2005,41(2):599-607.

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[4] 罗宏浩, 吴峻, 赵宏涛, 等. 永磁无刷直流电机换相控制研究[J]．中国电机工程学报，2008，28(24)：108-112．

LUO Hong-hao, WU Jun, ZHAO Hong-tao, et al. Commutation control of permanent brushless DC motors[J]. Proceedings of the CSEE, 2008, 28(24):108-112. (in Chinese)

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ZHAO Hong-tao,WU Jun. Synthesis compensation of thrust fluctuation for linear permanent magnet brushless DC motor[J]. Journal of System Simulation, 2010, 22(6):1494-1497.(in Chiese)