加权相位差分测频算法及其工程应用

王晓君，安国臣，张秀清

在侦察接收机信号处理系统中，需要从数字信道化后的实时数据流中得到信号的载波频率。由于信道化后得到的是实时数据流，数据流中所包含信号的信噪比有很大不同，故所采用的算法应该首先具有实时处理能力，其次在低信噪比情况下也能有较好的测频精度。

工程中应用的测频方法有许多[1-6]，其中Kay测频算法是一种基于最小均方误差的相位差分频率估计法，它在高信噪比复信号(复指数信号加高斯白噪声)时，频率估计方差可以达到Crammer-Rao(CR)界。

首先给出Kay测频算法的测频原理，然后通过仿真与其他测频方法进行比较，给出不同信噪比情况下的性能比较，最后论述在工程应用中如何改进算法性能，如何降低Kay测频算法的信噪比阈值以及探讨基于FPGA的工程实现方法。

1 算法原理

叠加复高斯白噪声的复正弦信号的N个观测值可以表示为[1]

xk=Aej(ω0k+θ)+nk，k=0,1,…,N-1，

(1)

将式(1)重写为

(2)

,

(3)

式(2)可写为

xk≅Aej(ω0k+θ+vk),k=0,1,…,N-1,

∠xk=ω0k+θ+vk,k=0,1,…,N-1。

(4)

在式(4)的基础上，Kay提出了一种可达到CR界的加权差分算法。相位差定义为

Δk=∠xk+1-∠xk，

即

Δk=ω0+vk+1-vk,k=0,1,…,N-2。

(5)

从式(5)可知，问题转化为从有色高斯噪声过程中估计ω0的均值。该随机过程等效成一个系数为1和-1的滑动平均模型。因此ω0的最大似然估计等效于线性模型的最小方差无偏估计，即最小化J，

频率的估计为

(6)

可以证明估计的方差为

(7)

协方差矩阵C为

是一个三对角矩阵，有

经过一定的运算得到

式中：

从而由式(6)得频率的估计为

频率估计可进一步写成

(8)

估计方差为

估计方差刚好等于CR界。wk是一个关于点k=N/2-1对称的窗函数。之所以估计能够达到CR界，完全归功于窗函数的选择。

2 测频算法的性能仿真

图1 Kay算法的测频误差(ω0=0.4π)Fig.1 Frequency measurement error of Kay algorithm (ω0=0.4π)

以单频信号为例，分析不同数据长度、信噪比及信号频率时Kay算法的测频精度。图1给出在固定信号频率(ω0=0.4π)下，采用不同数据长度，在不同信噪比时的算法性能。通过仿真分析发现，同一信号频率下，增加参与估计的数据长度可以提高测频精度。同时，可以发现Kay算法存在明显的信噪比阈值。只有当信号的信噪比大于这个阈值时，测频的精度才可逼近CR界。

另外，Kay算法对不同信号频率的测频误差是不同的，当ω0接近于π时，测频误差明显增加，这时就需要较高的信噪比来提高测频精度。这是因为当ω0接近被测频率的估计范围[-π π]两端时，相位差分结果Δφ(n)出现相位折叠的概率大大增加，从而导致运算误差。

图2 4种实时测频算法的性能比较(N=32，ω0=0.4π)Fig.2 Performance comparison of four kinds of real-time algorithm for frequency measurement (N=32, ω0=0.4π)

图2给出Kay算法与曲线拟合法、扩展Prony法和高阶相位差法的测频性能比较。仿真条件为数据长度N=32，单频信号且ω0=0.4π，高阶相位差分的阶次取为10。通过仿真分析发现，Kay算法和高阶相位差法在信噪比大于信噪比阈值的情况下都可以达到CR界，但扩展Prony法和曲线拟合法始终无法达到CR界，相差5～6 dB。在处理单频信号时，可见Kay算法和高阶相位差法在性能和运算复杂度上相当。但是对于频率调制信号，用高阶相位差法进行处理复杂度就会增加。在处理相位编码信号时需用相邻相位差来剔除野值，Kay算法相比高阶相位差法而言运算复杂度要小。综合分析，这4种算法中以Kay算法的总体性能最优。

3 应用研究

Kay相位差分频率估计算法是针对复指数信号模型提出的，要求系统使用正交采样技术。首先根据复采样点值计算出对应的相位角，再根据确定的权值进行差分加权，即可估计出复信号的频率。影响频率估计精度的参数有信噪比和参与运算的采样点数。要减小频率估计的均方误差，总的说来，应该是信噪比和采样点数都取的大些，但在实际应用中，需要考虑短数据和有限信噪比的情况。

3.1 改进Kay算法的一般方法

一种改进算法是自适应门限的解卷叠算法。由于一般的相位解卷叠算法是以π和-π为解卷叠门限的，因此在高频端由于容限越来越小，从而造成高频端测频性能的下降。而改进的相位解卷叠算法采用自适应门限，算法如下：

(9)

另一种改进算法是剔除野值。使用相位差的均值作为剔除野值的依据，一般是在此均值的基础上再设定一个接受范围(例如取±π/2)，超出此范围的相位差被视为野值，该值被剔除并用平均相位差来代替。尤其针对二相编码信号进行的剔除野值处理是必需的。

以上2种改进算法增加的处理负担不大，但却具有较好的改善效果，适合在工程中应用。

3.2 提高Kay算法的检测阈值

Kay算法存在信噪比检测阈值，造成存在检测信噪比阈值的原因可以归纳为2方面的问题[7-8]：1)相位差分算子的相位折叠误差，使得信噪比阈值随被测频率的大小而变化；2)Kay算法本身存在信噪比阈值。当信噪比小于6.5 dB时，相位差不再符合高斯分布，用最小二乘法处理就不能再获得最优解，因此即使不考虑相位折叠误差，要想达到CR界，也存在约6.5 dB的信噪比阈值。

FITZ，LUISE和REGGIANNINI(L&R)提出应用接收信号的自相关系数进行频率估计的方法。实际上FITZ的估计是一种相差加权平均，L&R的估计是一种加权线性预测。但由于这两种方法在相位提取时，在高频区造成了不可恢复的相位混叠，虽然改善了方差阈值但缩小了估计范围，同时也使得实现难度增 加[9-10]。

工程实现时，可应用滤波器法降低Kay算法的信噪比阈值[9-14]。方法是在用相位差分进行频率估计之前，用简单的FIR滤波器处理输入信号，提高信噪比，达到降低信噪比阈值的目的。例如，当使用2阶滤波时，由式(1)，设ak=(xk+xk-1)/2,k=1,2，…，N-1，则ak的信噪比比原信号提高3 dB，经推导可得相位差分：

(10)

根据式(10)，再利用最小二乘法可得到与式(6)相类似的频率估计子。通过K阶滤波器，信号信噪比提升10lgK，则检测阈值就降低10lgK，但频率估计范围会变为原来的1/K。滤波器法在工程实现上具有优势，其滤波环节可插在原算法测频模块的前边。虽然加权窗与原Kay法不同，但是可预先计算出来，并存储在ROM存储器中。

3.3 基于FPGA的实现方法

从实现角度讲，基于FPGA实现Kay相位测频法要解决的问题有[15-17]：1)为了提高精度，参与测频的数据点数应该尽可能的多，可根据实际情况设置可变点的测频处理，点数不同，加权系数就不同；2)数据流是实时动态的，计算过程中不可能存储太多的点，输出测频结果也需要是实时的。

图3 Kay相位差分算法实现Fig.3 Implementation of Kay phase difference algorithm

一种基于FPGA的Kay相位差分测频法的实现框图如图3所示。测频单元可实现8，16，32及64点测频。不同点数下的Kay加权系数，可预先存储在系数存储器中。由启停控制信号来控制一个测频周期的开始与结束，并负责将累加器及系数存储器地址计数器清零。

图3所示框图没有考虑资源复用，适合于测频点数预先不确定的场合。由于共有4路测频单元，每一路测频单元需要4个乘法器，因此为实现上述算法，需要FPGA中的乘法器数目为4×4=16个。需要的存储器数目为4+8+16+32+64=124个。与其他3种测频算法比较，加权相位差分算法与高阶相位差分算法复杂度相当，且非常适合于FPGA的实现，而扩展Prony法与曲线拟合法算法复杂，只适宜于软件实现。

4 结 语

Kay加权相位差分测频算法是一种非常适合于短数据、有实时要求的测频算法。当信号的信噪比大于检测阈值时，其均方误差逼近CR界。介绍了Kay算法原理，对算法性能进行了仿真分析，给出了工程应用中应重点考虑的提高两端测频精度及降低检测信噪比阈值的问题，并且给出了基于FPGA的实现框图。Kay算法可对输入的连续数据流进行实时测频，可被广泛应用于通信/雷达侦察接收机中的信号实时测频中，尤其是信道化后的信道数字测频中。在工程应用中，该算法取得了较好的使用效果。

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